北京大学数学物理方法经典课件第四章——留数定理.ppt

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1、第四章留数定理数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏的极深.数学是科学之王.高斯1学习要求与内容提要目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握用留数定理计算典型实定积分的方法。重点：难点：理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。留数的计算与留数定理2（一）留数引入设为在l构成区域内的一个孤立奇点;.的某去心区域(内半径为零)(2)取l0为去心区域内包含的任一条正向简单闭曲线4.1留数定理ll001010)()()(azzazzazfkk++-++-+=----LLLLL+-++-+kkzzazza)()(001内的洛朗级数:在(1)由洛

2、朗级数展开定理:在去心区域内解析，可展开洛朗级数。300(柯西定理)LLL+-++-+=òò----l0l0kkzzzazzzad)(d)(1010LL+-++-++òòòzzzazzzazakl0kl0l0d)(d)(d001012-p=ia的系数洛朗级数中负幂项101)(---zza由柯西定理,我们有积分各正幂项fk(z-z0)=ak(z-z0)k是解析函数即：称为称为在有限远点z0处的留数处的留数4（二）留数定理说明:Resf(bj)：f(z)在的无心邻域0<

3、z−bj

4、

5、j个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中(z-bj)-1的系数。1.留数定理在区域B内除有限个孤外处处解析,l是闭区域B包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么立奇点函数l：B内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。...5证两边同时除以，则有...由复连通域的柯西定理)(Res1å==njbjf6(1)方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数奇点的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。(2)要计算解析函数的积分，关键：计算留数；(3)bj(j=1,2,…)是l所包围的f(z)的所有奇点，而不是f(z)所有的奇点。即：7解:采用洛朗展开式求:例1求在的留数.8(1)如果为的可去奇

6、点,如果为的一级极点,那末规则1(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将成洛朗级数求1-a求a-1)()(0kkkzzazf-=å¥-¥=2.留数的计算方法求a-19规则1证-=--0)()(zzazf11L+-++)(010zzaa0)()(-=-1azfzzL+-+-+0100)()(21zzazza如果为的一级极点,则取zz0的极限，即得a-1。10证+-++-=----2020)()()(zzazzazfmmLL+-++-+--)()(010101zzaazza101010)()()()(--+---++-+=-mmmmzzazza

7、azfzzLL+-+-++10100)()(mmzzazza如果为的m级极点,那么规则211+(含有正幂的项)两边求阶导数,得1)!1(--=am,)!1()]()[(ddlim10110---®-=-amzfzzzmmmzz1)(Res-=az0f所以12例2求在的留数.解13规则3如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点,且有0)(,0)(00¹¢=zQzQ因为14解析且在因此其中在解析且为的一级极点,15例3计算f(z)=在z=0处的留数.解:P(z)=ez,Q(z)=sinz，于是P(0)=1,Q(0)=0,Q'(0)=1.16例4解17例

8、5计算积分l为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,f(z)18（三）无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向记作:定义1--=a设函数在圆环域内解析，l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，点的留数，在为¥)(zf的值与l无关，则称此定值那么积分19其中l:

9、z

10、=ρ>R,积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点的区域的正方向）．如果f(z)在z=∞的去心邻域R<

11、z

12、<+∞内的罗朗级数为由逐项积分定理及公式得到也就是说Resf(∞)等于f(z)在∞的去心邻域的罗朗展开式中1/z项系数的负值．.l20.......证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包

13、含在*.留数和定理如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.21解：共有七个奇点：前6个根均在　　　内部，故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题。即例7计算而故　　　　　　　。从而22§4.11.（1）（3）（5）（7）（9）2.（1）（3）3.本讲作业234.2应用留数定理计算实变函数定积分24留数定理计算实变函数定积分要点：设法把实变函数定积分跟复变函数的闭合围线积分联系起来。把实变定积分联系于复变函数的闭合回线积分的要点：①把实积分，的积分区间[a,b]看成复平面实轴上的