函数零点问题综述.doc

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1、因数零点问题忍维模式210008江苏省南京外国语学牧李平龙方程的实根称为函数的零点，也即函数的图象与x轴交点的横坐标.这一新课标新增内容的概念,不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识，而II展现了数形结合的思想方法，目前己成为高考命题的一个新亮点.本文按函数类型综述于后，试图探索出求解函数冬点问题的一般思维模式.1二次函数的零点二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进呦用判别式与韦达定理处之；若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大（小）于某数、一个零点小于某数另一个零点大于该数、在某

2、区间内恰有一个零点，则可借助于二次函数的图彖探索出相应的充要条件；当二次函数的零点问题用二次方程与二次函数探求繁难时，可尝试对方程进行代数变形（如参数分离、换元等），构造出新的不含参数的函数，进而利用该函数的单调性或值域等知识常使问题获得简解.问题12007年普通高考广东文科数学试卷压轴题（2知Q是实数，函数f（x）=2ax2+2x—3—a,如果函数y=f（x）在区间[―1,1]±有零点，求d的取值范围.解析利用二次函数与二次方程相关知识解该题时（可参见标准答案），均需进行繁朵的讨论；而参数分离后构作新的函数则不

3、然.事实上，山/（x）=0得，（2/—1）。=3—2x,因为3—2%）,下求该函数的值域.是方程的解，所以原方程同解于心产P3—2Y构造函数g(x)=2x2—1(―iWxWl，xH3—t令3—2x=t,贝I」1W/W5,土迈，故r八右希+•.•2需...yM1或yW—3+y,即函数g(x)的值域为(一°°,—fl,+8),从『Ud的収值范围是（一8,3+^7_2]U[1,+8).评注山函数的概念知，方程f（x）有解的充要条件是参数a在函数/（%）的值域内収值.本题还可用导数方法求值域.2三次函数的零点借助于三次函

4、数的性质可知，当三次函数不存在极值或极大值小于零或极小值大于零吋，三次函数有唯一零点；当三次函数的极大值等于零或极小值等于零时，三次函数有二个零点；当三次函数的极大值大于冬1L极小值小于零时，三次函数有三个零点.问题22007年普通高考(全国卷II)理科数学压轴题己知“>0,且过点4(°,b)可作曲线C：y=f(x)=x3-x的三条切线，求证：—a

5、=ff故3“一1=,即2/3-—3at2--a+b=0.t~a构造函数g(/)=2t3-3at2+a+b9下求其极值便可.『(t)=6r—6at=6t/(z)=0,得r=0或/=o,当rvO或吋，『(r)>0,g(t)是1曽函数；当Oc/w时，(/)v0,g(/)是减函数；故g(/)的极大值为g(0)=a+b,极小值为g(a)=—a3+a+b=—f(a)+b.Tg(r)有三个零点,：.g(0)=a+b>0Rg(a)=-f(a)+/?<0,即一a

6、转化为方程问题，他的努力虽然“失败”了，但却创立了解析几何.这一历史案例表明，大最的数学问题可转化为方程或函数零点问题，是无可非议.下面的问题便如此，读者不妨试之：(1)已知函数/(x)=Z(x3+tz)有三个极值点，试求a的取值范围(答：所求取值范围是(一4,0))；(2)函数/&)=/(x2-2z/x)在区间(一2,—土)上不是单调函数(或存在连线斜率为0的两点)，求实数。的取值范围(答："V—扌或°>0).3一般函数的零点—•方而，可考虑转化为二、三次函数的零点问题；另一方而，可考虑利用研究二、三次函数零点

7、问题展现出的数学思想方法，R卩在函数与方程的相互转换中寻找捷径.问题32007年普通高考江苏数学试卷压轴题改编已知cHO,函数f(X)=~cx2+cxfg(x)=x3~cx2+cxf如果函数y=f(x)与函数y=g(f(x))有相同的零点，试求实数c•的収值范围.解析易见y=/(x)的零点为%i=0,兀2=1;由g(/(兀))=0得,/(兀)=0或/*2(x)—cf(X)+c=0(*).因%i=0,兀2=1均不是(*)方程的解，故“函数y=f(x)与函数y=g(f(x))有相同的零点”的充要条件是“(*)方程无实

8、根”.若将(*)方程左边展开并分离参数，得J-则需用导数方法求函数力0,/?(x)为增I31313

9、函数；故力(X)mitl=h(2)=丘+；，即力(X)的值域为+°°)，从而山0^(—+-,+X