解析函数与Lipschitz条件.pdf

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1、第21卷第6期大学数学VO1.21!N.62005年12月COLLEGEMAT~EMATICSDec.2005解析函数与Lipschitz条件褚玉明!李永民湖州师范学院数学系浙江湖州313000)!摘要"研究了解析函数与Lipschitz条件得到了如下两个结果:i)设D是一平面区域fZ)在D中解析0＜a（1若feLipD)则＞fZ)＞（fZaD)a-1ZeD;ii)设D是拟圆fZ)在D中解析aad0＜a（1若存在常数m＞0对任意ZeD有＞fZ)＞（mdZaD)a-1则feLipaD)且fa（cm其中ac=cD)是仅与D有关的常数.!关键词"解析函数;Lipschitz

2、条件;拟圆!中图分类号"O174.5!文献标识码"A!文章编号"1672-1454#2005$06-0077-03l引言设D是有限复平面R!2中的区域fZ)是定义在D上的实或复值函数0＜a（1.若存在常数m＞0对任意ZZ有12eDa1)＞fZ1)-fZ2)＞（m＞Z1-Z2＞则称fZ)在D上满足Lipschitz条件记feLipD).f表示满足1)式的全体m的下确界.aa具有Lipschitz条件的解析函数在~P空间~解析函数的巴拿赫代数~边值问题和拟共形映射等理1-5]论中有广泛的应用.但是一般来说定义在一般区域上的解析函数并不满足Lipschitz条件并且关于在什

3、么条件下定义在区域D上的解析函数f满足Lipschitz条件的研究工作并不多见最近KurdykaK和PaunescuL在文6]中给出了定义在区域D上的解析函数f具有局部Lipschitz条件和不满足Lipschitz条件的若干充分条件.本文的目的之一是利用Cauchy积分公式和解析函数的导数给出定义在区域D上的解析函数满足Lipschitz条件的如下一个必要条件:定理l设D是一平面区域fZ)在D中解析0＜a（1若feLipD)则aa-1ZeD.＞fZ)＞（fadZaD)设D是R!2中的JOrdan域1（a＜+Of是R!22上的a-拟共形映射如果D是R!2中的单位—R!

4、圆在f下的象则称D是a-拟圆或拟圆.7]拟圆是拟共形映射中的重要概念和研究对象Ah1fOrsLV首先得到了拟圆的一个充要条件8]三点性质)其后GehringFW总结并证明了关于拟圆的十七个等价条件近年来本文第一作者在文9-11]中获得了有关拟圆的若干几何性质.因此对拟圆性质的进一步刻画具有重要的理论意义.本文的目的之二是利用拟圆的几何性质证明当D是拟圆时定理1的逆成立即证明下面定理2.定理2设D是R!2中的拟圆fZ)在D中解析0＜a（1.若存在常数m＞0对任意ZeD有!收稿日期"2004-12-13!基金项目"国家自然科学基金10471039);浙江省自然科学基金M1

5、03087);浙江省重点学科基金;湖州市自然科学基金2005YZ01)78大学数学第21卷＞f＞（mda-1,则feLip且fcm,其中c=c是仅与D有关的常数.aa（a2定理的证明定理l的证明对任意ZeD,取0＜＜d,对任意＞h＞＜,由熟知的Cauchy积分公式直接可得1ff=dE,2Ki（

6、E-Z

7、=E-Z1ff=dE.2Ki（

8、E-Z

9、=E-因此1f-f1f-ff-f=dE-dE2Ki（

10、E-Z

11、=E-2Ki（

12、E-Z

13、=E-Zhf<

14、E>-f=dE2Ki（

15、E-Z

16、=E-]2KiO>-fhf-f＞＞f-f＞1＞f＞=1iI（1iIiOiSdO.＞h＞—0＞h＞＞h＞—02K（0＞e-＞h＞e＞由于feLip,由<1>式可得a＞f＞（1-1-2K-m-a=ma-1.<2>2K在<2>中令—d,m—f,得aa-1＞f＞（fad.定理2的证明由于D是拟圆,由文12]知,存在只与D有关的常数a=a,b=b,对任意Z1,Z2eD,存在D中连

17、结Z1与Z2两点的可求长曲线Y,对任意ZeY,有l（a＞Z1-Z2＞,<3>Iinl（bd,j=1,2其中l表示曲线Y的欧几里德长度,Y与Y分别是Y＼Z}中含Z与Z的两个分支.1212设s表示从Z出发沿Y至Z点的曲线的长度,Z为以弧长s为参数的点Z的表示,令g1=f>,则由<3>知Iin（bd,l=l,<4>由g的定义,定理2的条件和<4>式易得a-1Iin＞g＞（m<>,0＜s＜l,<5>b且g在0,l]上绝对连续.因此由<5>式可