实分析中关于Lipschitz条件的一个充要条件-论文.pdf

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1、第30卷第4期大学数学Vo1．30，№．420l4年8月CoIIEGEMATHEMATICSAug．2014实分析中关于Lipschitz条件的一个充要条件林植林(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)[摘要]给出了Lipschitz条件成立的的充要条件，揭示了实分析中实函数的某些性质与Lipschitz条件之间的内在关系．[关键词]Lipschitz条件；充要条件；导出数[中图分类号]017[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2014)04—0065—03在实分析中，Lipschitz条件和实函数往往会有着十分紧密的联系，例如有限实函

2、数，(z)在[a，6]上满足Lipschitz条件的充要条件为-厂()是[n，6]上某个有界可积函数的不定积分n．因此，对Lipschitz条件成立时充要条件的分析，对于研究实函数的某些性质则具有深远意义．1Lipschitz条件及相关引理定义设厂()是定义在[n，6]上的实函数．若存在一个常数M，使得对于V，YE[a，]，都有I，(z)一f(y)l≤Mlz—I成立，则称厂()在[口，6]上满足Lipschitz条件．引理1设．厂()为定义在[n，6]上的有限函数．若，(z)在每一点的导出数均为正数，则厂(z)是[n，6]的严格增函数．证若不然，假设厂(z)

3、在-a，6]上不严格增，则存在E[n，6]，可找到{}，满足z一(一。。)，使得二≤0，故可找到{)的子列{z}，使得Z一Z)二≤0lim．kZn—Zk这表明_厂()在z处有Df(z)≤0，与厂(z)在每一点的导出数均为正数矛盾，故假设不成立，从而-厂()是[a，6]的严格增函数．由引理1，可得到以下的引理2．引理2设厂(z)为定义在[。，6]上的有限函数．若，(z)在每一点的导出数均为非负数，则厂(z)是[n，6]的增函数．证取()一，(z)+，其中>0，则有Df()一Df(z)+≥0+一>0．由引理1可断言，(z)在[口，6]上关于z严格单调递增．从而，

4、当Y>z，，YEEa，6]时，有厂(Y)+===()>()一厂()+．令一0，可得，(3，)>厂()，这表明厂()为[n，6]的增函数．[收稿日期]2013—11-2966大学数学第3O卷2Lipschitz条件成立的充要条件定理，(z)在[口，6]上满足Lipschitz条件的充要条件是，(z)的所有导出数满足IDf(x)I≤M，Vz∈[n，6]．证先证必要性．假定，()为在[n，上满足Lipschitz条件的实函数，则对于V，Xz∈[n，6]，有1f(x)一f(x)I≤MIX一zf．故对于任意取定的。∈[n，6]，可找到序列{z)c[n，6]，满足z≠。

5、，且liraX一工。成立，有lf(x)一f(x。)I≤MI一．27。l，即{1正I≤M．l,l工0l故若D厂(Xo)一存在，则必有Df(x。)I—liml≤M，”一o。n—Xol由z。的任意性知，厂(z)的所有导出数满足IDf(x)I≤M．下证充分性．先证-厂(z)为[口，6]上的连续函数．若不然，不妨设z∈[口，6]为其不连续点，则存在￡。>0，存在{口}一0(n一。。)，口≠0，使得If(x+a)一f(x)I≥￡。，故有limI丛l一+。。．n一∞laI这与厂(z)的所有导出数满足lDf(x)l≤M矛盾，故厂()必为[口，6]上的连续函数．现构造函数gl

6、()一红+厂()，g2()一Mx一厂()．注意到IDf()l≤M，则有Dg1(z)一M+Df(x)≥0，Dg2(z)一M—Dr(x)≥0．由引理2知g(z)与g(z)均为[n，6]的增函数，故当z，Y∈[n，6]，且当Y>z时，有My+f(y)一g()≥g1(z)=Mx+，(z)，My—f(Y)一g2()≥g2(z)=Mx一厂(z)，从而有一M(y—)≤f(y)一，(z)≤M(y—z)，即l厂()一f(y)I≤MIz—Y1．这表明-厂()在[口，6]上满足Lipschitz条件．[参考文献]E1]程其襄，等．实变函数与泛函分析基础EM]．北京：高等教育出版社

7、，2003：97—175．[2]周民强．实变函数论[M]．北京：北京大学出版社，2001：149—270．[3]曹广福．实变函数论与泛函分析(上册)[M]．3版．北京：高等教育出版社，2011：96—139．[4]AliprantisCD．PrinciplesofrealanalysisEM-]．北京：世界图书出版公司，2008：161—254．第4期林植林：实分析中关于Lipschitz条件的一个充要条件67ASufficientandPrerequisiteConditionaboutLipschitzConditioninRealAnalysisLIN

8、Zhi—lin(SchoolofMathematic