04非线性振动与混沌简介2

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1、同学们好！1一、混沌现象湍流雷诺实验§3.2混沌木星大红斑障碍物后的流体混沌现象2湍流3喷气机尾流燃烧的蜡烛洛仑兹水轮混沌现象4滴水龙头计算机迭代混沌现象5混沌现象61961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计算机速度约每秒做6次乘法。经简化后的洛仑兹气象模型为●蝴蝶效应7为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。他第二次输入时去掉了小数点后面三位：混沌的初值敏感性8●

2、蝴蝶效应洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）9任意摆角情况下单摆的运动线性系统（数学定义）：若则满足是线性的；为非线性，则★自由单摆的运动方程：线性近似：当很小，(sin)若按级数展开，取第一项而得.10若为任意值，故自由单摆为非线性振动系统：令，以及，则上式变为而(sin)11方程解的非唯一性1.设初始条件为0=，0=0，运动分析：在最高点=，=0，系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：a.停留在该顶点，尔后径直下落；b.调头沿原路返回；c.越过该顶点继续向前运动。则其解为12，则解为类似地，当令0=0，最

3、高点(=)，非稳平衡，运动非唯一性。★对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作用的阻尼单摆）：●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。13①什么样的系统会出现混沌现象？②怎样判断系统出现了混沌现象？③混沌系统状态有何特征？如何描述？问题：非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），当其非线性程度足够高时，系统将出现混沌状态。14二、确定性系统中的内在随机性●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在随机性。例如

4、，上述非线性单摆的运动。★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。15三、混沌的基本概念1.混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的运动的不可预测性。2.相图●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。例：自由单摆（简谐振动）★简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，所以相轨线为一闭合曲线。163.自治系统与非自

5、治系统●不显含时间t的动力学方程称为自治系统，而显含时间t的动力学方程称为非自治系统。★由线性单摆方程可得不显含t，在二维相空间中为自治系统。★由受阻力和周期策动力作用的非线性单摆方程可得（角谐振动）显含t，在二维相空间中为非自治系统。17自治系统的相空间与相轨线引入新变量=t，可将方程化为三维相空间中的自治系统：●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即通过每一相点的轨线是唯一的。而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二维相平面上相轨线有相交情况。184.彭加勒截面图若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的性质，每个

6、截面上只有一个交点，即相轨线一次性的穿过每一个截面。因，若以2为周长，将相空间弯成一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面称为彭加勒截面。19●相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为彭加勒截面图。★通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程中系统的运动规律。20讨论：●单周期振动，每隔2运动状态复原，即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截面，★在彭加勒截面图上只有一个不动点；●运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。●倍周期的运动，彭加勒截面图上有两个不动点；…。21四、单摆与混沌单摆方程

7、按泰勒级数适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程）取前两项近似，运动的演变讨论1.线性近似下的单摆运动22三种情况：a.f===0；b.f==0；c.=0，相应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。令=0，退化为线性方程★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停止于中点---不动点吸引子---。★受迫振动：经过暂态之后趋于一稳定的闭合圈---周期吸引子或极限环。★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。1.线性近似下的单摆运动23★方程代表复杂的非线性振动系统。2.非线性近似下的单摆运动混沌为简化问题，在四个参数中只改

8、变f的值。数值模拟发现，随着f的逐渐增大，该振动系统产生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进入混沌的演化过程。从周期运动到倍周期分岔◎当f=0.8，系统的运动仍是一个简单的周期运动。24◎当f=0.89，其结果为一个