2003年全国高中数学联赛试题及解答.doc

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1、2003年全国高中数学联赛冯惠愚2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等

2、于(A)(B)(C)(D)84．若x∈[－，－]，则y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是(A)(B)(C)(D)5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是(A)(B)(C)(D)6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于(A)(B)(C)(D)二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式

3、x

4、3－2x2－4

5、x

6、+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且

7、PF1

8、∶

9、PF2

10、=2∶1，则△PF1

11、F2的面积等于．9．已知A={x

12、x2－4x+3<0，x∈R}，B={x

13、21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AÍB，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.

14、ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．三、（

15、本题满分20分）-9-2003年全国高中数学联赛冯惠愚13．设≤x≤5，证明不等式2++<2．四、(本题满分20分)14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A¢刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A¢取遍圆周

16、上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．-9-2003年全国高中数学联赛冯惠愚加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．已知==，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n

17、=q2+q+1，l≥q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．-9-2003年全国高中数学联赛冯惠愚1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间

18、有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是解：曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若

19、此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)(B)(C)(D)8解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直