全国高中数学联赛试题及解答.doc

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1、二○○一年全国高中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明：1．评阅试卷时，请依据本评分规范．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分规范规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分规范适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个

2、（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合M={x

3、x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定【答】（C）【解】方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点。命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点。命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答】（B）【解】只有命题1对．3．在四个函数y=sin

4、x

5、，y=cos

6、x

7、，y=

8、ct

9、gx

10、，y=lg

11、sinx

12、中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是（A）y=sin

13、x

14、（B）y=cos

15、x

16、（C）y=

17、ctgx

18、（D）y=lg

19、sinx

20、【答】（D）【解】y=sin

21、x

22、不是周期函数．y=cos

23、x

24、=cosx以2为周期．y=

25、ctgx

26、在（0，12/12）上单调递减．只有y=lg

27、sinx

28、满足全部条件．4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=（B）0

29、（B）、（C）．5．若的展开式为，则的值为（A）（B）（C）（D）【答】（C）【解】令x=1可得=；令x=可得0=；（其中，则=1且++1=0）令x=可得0=．以上三式相加可得=3（）．所以=．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定【答】（A）【解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝．则6x+3y>24,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.所以2x-3y==0，即2x>

30、3y．12/12也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆的短轴长等于．【解】故．从而．8．若复数z1，z2满足

31、z1

32、=2，

33、z2

34、=3，3z1-2z2=，则z1·z2=．【解】由3z1-2z2==可得．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是．【解】作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三

35、角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=．10.不等式的解集为．【解】等价于或．即或．12/12此时或或．∴解为x>4或0

36、种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法．故总计有108+432+192=732种方法．12/12三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a10．由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得2a12+4a1d+d2=0解得d=()a1.……………