关于"问题转化"解题策略的探讨.pdf

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1、第Z0卷第Z期高等函授学报(自然科学版>VOlLZ0NOLZZ006年4月JOurnalOf~igherCOrrespOndenceEducatiOn(NaturalSciences>AprilZ006文章编号!1006_7353"2006#02_0026"08#_03关于问题转化解题策略的探讨。吕松涛!吴伟朝(广州大学数学与信息科学学院广州510006>摘要!问题转化是数学中一种十分重要的解题策略和思想方法!由问题所给的条件或结论不同"转化问题的方法也不同!本文通过举例说明运用问题转化解题策略时的思路和方法!关键词!问题转化#解题思路#策略中图分类号

2、!G63Z文献标识码!A问题和解是数学的主要组成部分著名数学例1给定数列Jn}其中Jn+1=家波利亚曾说过:掌握数学就意味着善于解题Jn+(Z_。3>求J的值1001_J401在进行解题时我们接触的并不是简单用单一思1_Jn(Z_。3>路可解的问题而是需要转化思路进行创造性的分析与解该题是数列求值问题所给条件思维才能得以解决的问题这就决定在数学解题为递推公式如果直接利用数列知识求解则过程活动中必然有策略问题问题转化是数学解题中非常繁杂仔细观察题设条件不难发现其结构与一种十分重要的解题策略它涉及三个基本的要两角和正切公式非常相似由此可联想到Z_。3素:问

3、题转化的对象目标和方法其对象就是有=tan15利用两角和正切公式进行变换待解决的未知问题目标就是熟悉或能解决的问tan0n+tan15题方法就是数学的思想方法在进行一个问题转设Jn+1=tan0n+1=1_tan0ntan15化时目标和方法都是待定的由于问题所给的条=tan(0。>.件或结论不同转化的角度也不同故转化没有固n+1Z定的模式应具体问题具体分析那么运用转化策由此进一步可得J所以数列J}是n+1Z=Jnn略该怎么着手要遵循什么样的思路呢？下面就来一个周期为1Z的数列故J1001_J401=J5_J5=0.讨论一下问题转化策略的运用2.分解与组

4、合转化1.通过类比联想进行转化在解决数学问题的过程中经常遇到一些结构不同知识间存在着各种联系因此在数学习非常复杂的综合题对于这样的数学问题往往需要题间也必然存在这样或那样的联系在解题时采取分解和组合的方法波利亚说:分解与组合是可以根据问题的具体情况抓住这些联系通过类重要的智力活动很多问题特别是比较复杂的问比和联想来探求问题转化的思路观察待解决的题我们有必要根据需要把它分解转化成一些有逻问题的条件和结论把需要求解的问题与已经解辑关系的简单的易于求解的小问题搞清楚待解决的问题或熟悉的问题进行比较通过具有类似决问题的各种制约关系在求得部分解的基础上再和相似特

5、点的数式图形以及相近内容和性质等进行联想把新问题的求解转化为解决已掌握的进行组合从而使原来的问题明了或得以解决例2解方程(J444问题在解决旧问题方法的启发下打开新问题的+Z>(y+3>(z+6>ZZZ解题思路=48Jyz.。收稿日期:Z006-0Z-Z0作者简介:吕松涛(1978->男河南开封人广州大学数学与信息科学学院课程与教学论硕士研究生Z6第Z0卷第Z期高等函授学报自然科学版VOlLZ0NOLZZ006年4月JOurnalOf~igherCOrrespOndenceEducatiOnNaturalSciencesAprilZ006分析与解这是个

6、高次方程利用一般的解明比较困难这时可先考察其特殊情形的证明不低次方程的方法无法解决不考虑从要解的方程等式的左边是三个同次项的和不妨令n=3的内部入手看能否把方程的项分解转化方程的33=Z=1=0则问题转化为特殊情形a+b形式以达到能看清楚方程各个项之间关系的目3ZZZ+ciab+bc+ca的证明这是一个相对简单的再把各个项组合起来从而找到解决问题的突和熟悉的不等式可利用均值不等式证明因为破口先把原方程分解变形为3333abc6+所以Zb+cibZcZc+aicZa444444444433Jyz=Zyz+3Jz+6Jy+18J+333ZZZ1Zy4+6z

7、4_48JZyZzZ+36=0.a+b+ciab+bc+ca.由这个特殊情形的证明可以类似推导因为abc6+所以观察这个方程方程左边全为偶次项右边为nnn零如果把左边变成一些完全平方项问题就迎刃a+b+c。nanbncni=abcn而解了所以有意识地将方程的各项组合经过组同理可证合方程可变形为nnnnnna+b+ca+b+cJZyZzZ_6Z+ZyZzZ_3JZZ+3JZzZ_iabcinnZZZZZZZy+6Jy_z=0.abc三式相加原不等式得证可得出下列结果4.直观和简单化ZZZZZZJZZZJZZZJyz=6yz=3Jz=Zyy=z.在解题过程

8、中对于一些抽象的概念或不明四个方程联立解得方程的解为确的解析式可以进行信息转换借助图形或列表4