hilbert空间中框架riesz基与正交基之间的关系

《hilbert空间中框架riesz基与正交基之间的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第23卷第5期（2007）河西学院学报Vol.23No.5（2007）Hilbert空间中框架，Riesz基与正交基之间的关系12牛晓芳李建华(1．陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062；２．河西学院数学系，甘肃张掖734000)摘要：本文讨论了Hilbert空间中的框架、Riesz基与正交基的关系．结果表明：无冗余的紧框架即为正交基组；Riesz基是线性无关的框架．并构造了适当的反例说明线性无关的框架不一定是无冗余的框架，正交基不一定都能构成框架．关键词：Hilbert空间；Riesz基；小波；紧框架；正交基中图分类号：O174文献

2、标识码：A文章编号：1672－0520（2007）05－0012－07框架与Riesz基的研究是小波分析理论研究的重要内容之一，正交小波基理论的发展则架起了逼近论与信号处理间一座新的桥梁．框架理论是由R.J.Duffin和A.G.Schaeffer在1952年研究非调和Fourier级数时正式提出的，直到1986年，Daubechies，Grossmann和Meyer的突破性研究，才使框架理论开始被广泛关注．从空间中元素表示的角度看，框架可看成是基组概念的推广．由于正交基的正交性和紧支撑性是一2对不可调和的矛盾，所以我们试图放宽正交的条件，来构造可

3、以表示LR()的序列，即框架，Riesz基，多小波等．正是由于框架与Riesz基有一定的冗余性，因此，它们在信号消噪、特征提取、鲁棒信号处理等方面具有广泛的应用．近年来关于框架的研究与发展为小波研究的热点之一．框架，Riesz基与基组之间既有密切的联系，又有本质的区别．本文讨论了框架与Riesz基之间和框架与正交基之间的关系．得到Riesz基是线性独立的矢量组成的框架；无冗余的紧框架即为正交基．为了方便，如果不作特别说明，本文中空间H均指Hilbert空间．本文第一部分介绍了一些基本的定义、引理，第二部分讨论了框架与Riesz基的关系，第三部分研究

4、了紧框架与正交基的关系．1引言定义1.1设{()}ex为H中的线性无关的函数列，若对于任何,g()xH∈都有ngx()=∑aenn,（）1n且系数an是唯一的，则称{}en为空间H的一个基组.若该基组还满足⎧0,mn≠<>exexnm(),()=⎨,（）2⎩1,mn=则称该基组为空间H的标准正交基，此时（）式可以写成1gx()=<∑gxexex(),()nn>().（）3n———————————————收稿日期：2006-09-04作者简介：牛晓芳（1983—），女，山西晋城人，陕西师范大学在读硕士研究生，主要研究方向为智能信号处理．-12-牛晓芳

5、，李建华：Hilbert空间中框架，Riesz基与正交基之间的关系这时有Parseval等式22

6、

7、()

8、

9、gx=∑

10、(),()

11、.<>gxexn（）4n2事实上，

12、

13、()

14、

15、gx==<∑(),()>n=<∑gxex(),()nn>n2=<∑

16、()gxex,()

17、n>.n定义1.2设H是一个Hilbert空间，是一个可列指标集，J{

18、φjjJ∈}是H中的一个函数序列，若对于任何g()xH∈，存在正常数A，，且B0

19、

20、

21、

22、≤<>≤∑

23、g,φj

24、Bg

25、

26、

27、

28、

29、.（）5j则称{

30、φj∈J}是H的一个框架．称A为框架的下界，为框架的上界，BA和B统称为框架界．j如果A=B，称{

31、φjj∈J}为紧框架．当A=B时，即在紧框架下，对于任何,g()xH∈有类似的Parseval等式22∑

32、,

33、

34、<>gAφj=

35、

36、g

37、.（）6j由此可以推出−1gx()=A∑<>g,φjjφ.（）7jH中的框架，如果去掉其中任意一个元素，使它不再构成框架，则称该框架为无冗余的框架．（）式说明，紧框架一般不是标准正交基，但是它可以提供函数的一个冗余表示．6（）式也可以看7作由<>g,φj重构gx()的一个方法．冗余框架还有另外

38、一个等价定义：定义1.3设{

39、φjj∈J}是H中的框架且,JJ,1⊆若{

40、φjjJ∈1}是H中的框架，则称{

41、φjjJ∈}是冗余框架．否则称之为无冗余框架．定理1.1设{

42、φjjJ∈}是H中的一个框架，则{

43、φjjJ∈}是冗余框架的充要条件是存在kJ0∈，使得φkj0=(∑λφjλj为常数．)jJjk∈≠,0定义1.4称函数列{

44、φjJH∈⊂}是H的Riesz基，如果：j1）函数列{

45、φjjJ∈}在H中稠密；22）对于任意{}cl∈，存在正常数A，，且B0

46、

47、{}

48、

49、

50、

51、jj≤≤∑cφjj

52、

53、Bc

54、

55、{}

56、

57、.（）8jA

58、和B称之为Riesz界．{

59、φjJ∈}H2定义1.5设j是可分Hilbert空间的一个框架，框架算子FHlJ:(→)定义为