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1、2004年9月纯粹数学与应用数学Sep.2004第20卷第3期PureandAppliedmathematicsVol.20No.3具有吸引项的反应扩散型和拟抛物方程解的全局死核问题*陈宁(西南科技大学理学院,四川绵阳621002)摘要:在文[1~2]文[3~6]基础上,应用文[7~8]的方法和相应结论,在古典解存在且唯一的条件下,结合文[10~11]研究具吸引项的反应扩散方程(1)的死核问题,且进一步讨论了跟一般的非线性抛物型方程(2)解的全局死核问题,得到新的结果和时间估计.关键词:反应扩散;非线性拟抛物
2、型;初边值问题;全局死核(Die-Out)中图分类号:O157.5文献标识码:A文章编号:1008-5513(2004)03-0248-071引言我们知道,反应扩散问题和相应的较复杂的非线性问题,均为由抛物型方程和拟抛物型方程所对应描述的,其主要源于生化反应过程中的浓度,生态环境的变化所带来的区域间物种迁移等,如:在反应物浓度为零或物种迁移率为常数时,在数学上表为相应的扩散问题的解在有限时间熄灭称为(Die-Out)死核.本文规定集合={IE0,U(I,t)=0}若某时刻t有t9(空集),称其系统解U(I,t
3、)在时间区域上熄灭,且称为解U(I,t)在该时间上(dealtregion)死区.当t0时为(dealcove)死核,且为局部熄灭问题;当U(I,t)(030)时,有U(I,t)E0称为全局熄灭.我们先讨论一类具有吸引项的变系数反应扩散方程解的死核问题(1),其次在研究具广义Sobolev-gaplpern型湿气迁移方程解的死核问题(2)见下式pGUt=c(t)AU-U[O(t)-B(t)U-7(t)U],(I,t)E0>[0,>)UIE30=1(I,t),tB0(1)LU(I,0)=U0(I),IE0*收
4、稿日期:2003-09-15.作者简介:陈宁(1960-),副教授,研究方向:非线性方程与泛函.第3期陈宁具有吸引项的反应扩散型和拟抛物方程解的全局死核问题249a(I,t)A~t-6(I,t)~t=F(I,t,~,V~,A~),(I,t)E0>[O,T]<~IIE90=2(I,t),tE[O,T](2)L~(I,O)=~O(I),IE0其中(1),(2)的0是Rn上适当光滑有界区域,~为0上非负连续函数,方程(1)的参函数D(t),B(t),7(t)为对应参数D,B,7所确定方程的动态方程系数,它们均是连续
5、有界函数,1(I,t)E11C(O,>)DC(O,>),2(I,t)EC(O,>)DC(O,>),~梯度算子和拉普拉斯算子分别是V~29~={~I,.,~I,.},A~=2,,=1,2,.,n.而(2)中函数F关于~~V~~A~分别满足1,9I,,nLip-条件,且有F=C(I,t)V~-e(I,t)(A~)-FO(~,t),由于上述方程所涉及到近代~现代物理学~热传导及流体力学,特别是在渗流理论和稳态现象中有极为广泛的应用,这些均引起国内外学者的关注[见引文],我们在此基础上,应用文[7,8]的方法和相应结
6、论,从另一个角度,在古典解存在且唯一的条件下,结合文[1O,11]研究问题(1),(2).将在拟抛物型方程中讨论解的熄灭性(die-OUO).因此和已有的工作相比,就更具有广泛性,抽象性和实用性,已有的工作为该文的特例.z条件和引理本文假设函数F(~,t)满足D2(1)存在D,O)>[O,>))DC([O,>)>[O,>));n(2)对F(O,t)=[a(t)]>O,当~(I,t)>O时,使F(I,t)>O,F~~(I,t)O,函数<->称F(~,t)为含
7、参数的广义强吸引项函数.OF(~,t)引理1若函数F(~,t)满足(1)-(3),则有如下结论A1)F(~,t)关于~是单调递增的(~>O,t>O);A2)对任意SE[O,1]的和对任意的~,有F(S~,t)}SF(~,t);A3)若~(I),I(I)为0上定义的非负连续函数,且I(I)I=1,则I(I)F(~(I),00t)I}F(I(I)~(I)I,t);0ELMyA4)若函数61(t)}a(t)>O,VE>O,则函数(E,t)=nO[61(t)y-a(t)]-F(y,t)是有限的.这里参函数()的最大值
8、和最小值分别表为()ML~(),tE(O,->),n为奇数.引理1的证明是不困难的,当参数t=t时为文[1O]的结论.O引理z若条件A4)成立,且F(~,t)满足A1)-A3)对任意的值y为奇数,初边值问O,n题ny/(t)-[61(t)y(t)-a(t)]-F(~,t)=O<(3)Ly(O)=yO在如下有限时间熄灭的解250纯粹数学与应用数学第20卷y0-1dyg[c+F(y,t),0tg(y0,
