一道课本习题的解法探究与延伸.pdf

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2013年第12期福建中学数学39一道课本习题的解法探究与延伸孟涛福建省厦门大学附属实验中学（363105）222人教A版教材高中数学必修二第133页第8题：APA++QPQ22222在直角ΔABC中，斜边BC为m，以BC的中点O为=++−+−+xycxbyn()()4m22222=+−−++2(xycxbybcn)+4圆心，作半径为nn()<的圆，分别交BC于P，Q22222bc+22222=−2(nb)++c+4n两点，求证APA++QPQ为定值．422解法1如图1，建立直角坐标系，设坐标2bc+=+6n，A(00)，，Bb(0，)，Cc(0，)，Pxy()，，Qxy()，，21122222∵bcm+=，P，Q两点所在的圆的方程与点2B，C所在的直线方程联立：y∴++=+APA222QPQm6n2（定值）．BP2⎧cb2⎪⎪()x−+−=()yn，O分析上述两种解法在学生作业中出现比较多，22Q⎨因为这种建立坐标系的方法更符合学生的思维习⎪xy+=1，ACx⎪⎩cb图1惯，很容易想到，方法一主要利用直线方程带入圆bc22++bc22b2的方程，再利用韦达定理以及两点间距离公式进行22(1+−)xxn+−=0，2转化、化简，但是过程十分繁琐，而且容易化简错cc4222ccn⋅误．方法二则设出了P点的坐标，利用中点坐标公x12+=xc，xx1⋅=−222，4cb+式得到Q点坐标，看起来有点麻烦，但在化简过程222bbn⋅中要比第一种方法简单一些．如何建立坐标系才能同理可得：yyb+=，yy⋅=−，1212224cb+使过程更加简单呢？22222222APA++=++++QPQxyxyn41122解法3如图2，以O为原点，分别以直线PQ为22=+−++−()xxx2()xyyy2y12121212x轴，PQ的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，22222222ccn⋅⋅bbn=−−cb2()+−2(−)mmnn44cb22++cb22则B(0−，)，C(0，)，P(0−，)，Q(0，)，222222222cbncb++2()2m2=++4n2222设A()xy，，由已知可得点A在圆xy+=2cb+422cb+2222=+6n，上，APA++QPQ222222222=+++−++()xnyxnyn()4∵cbm+=，22222=+++2(xynn)4222m2∴++APAQPQ=6+n（定值）．22m2=+6n（定值）．解法2设A(00)，，Bb(0，)，Cc(0，)，Pxy()，，2分析这种建立坐标系的方法不仅把圆心放在bc则圆心O坐标为()，，Q点坐标为()bxcx−−，，原点，而且根据题意利用P，Q和B，C的对称性，22由题意可写出圆的方程为：PQBC，，，都放在x轴上去考虑，这样就简单的bc222多．所以，在解析几何的题目中如何建立坐标系很()()x−+−=yn，22关键，一般说来，应该选择对称轴为坐标轴，使尽2222bc+2可能多的点在坐标轴上，对于不对称的图形要根据x+−−+ybxcy=n．4具体的情况，或以互相垂直的直线为坐标轴，或过22222bc+化简整理得：xyb+−−=−xcyn，图形中的某一定点做互相垂直的两条直线为坐标4 40福建中学数学2013年第12期轴．的思路．y对于本题的几种解法归纳延伸，可以得到如下A的结论：BEBCP若两条定长的线段互相平分，则其中一条线段POQxOQ的一个端点到另一条线段的两个端点的长的平方和图2AC为定值．在此基础上笔者编写了如下两个例题：图3解法4如图3，设BC中点为O，连接AO，并①如图4，三角形ABC的一边BC的中线AD长延长AO至E，使AOOE=，连接PE，QE，为m，在边BC上与D点等距离的两点P，Q之间JJJGJJJGJJJGJJJGJJJGJJJG2222的长度为n，则APA+Q为定值．（易证APA+QAPA+=QAE①，APAQQ−=P②，①②平方相加可得：221=+2)mn．22222222(APA+=+=QA)EPQmn+2，②如图5，两个同心圆圆心为O，大圆的半径为2222m2APA++=+QPQ6n（定值）．R，小圆的半径为rRr()>，A为大圆上任意一点，222PQ为小圆的直径，则APA+Q为定值．解法5与方法四类似直接利用平行四边形中四2222（易证APA+=+QRr2())．条边的平方和等于两条对角线的平方和的结论即可得证．A分析这两种解法主要是利用了向量的运算和PCBA平行四边形的性质，以及平行四边形中四条边的平PDQOR方和等于两条对角线的平方和的结论（见人教版必QE修2的第105页）．图4图5由以上几种方法分析，在解决平面几何问题时，以上两道题目通过平面几何方法很容易得证，我们可以通过解析法，建立坐标系和方程，由形化当然也可以用解析几何的方法，通过建立直角坐标数；也可以在解决解析几何问题时，利用平面几何系得到证明，因此对于教材上的一些例题或者练习图形的性质，化数为形这样两种方法相互渗透，相题多加思考，多做探究，也许就会有不小的收获．互弥补，数形结合，从而找出更加简单的解决问题探究导数思想在三角函数性质中应用12苏飞文洪丽敏1福建省南安侨光中学（362314）2福建省南安第一中学（362300）可能由于三角函数具有的特殊完美的性质，笔入三角函数教学中．者发现，老师或学生在三角函数解题中应用很少应我们知道导数在高中的应用主要有在不等式证用到导数思想，特别是高三第一轮复习中，如果在明、函数单调性的讨论、求曲线的切线、求函数最复习三角函数这个章节没有把导数这个思想加以融值等方面的应用，而三角函数又具有单调性、周期合进去，笔者觉得是一种缺憾，不能让学生更加全性、最值和极值等完美性质，能够很好的诠释导数面理解导数这个工具的实质和三角函数性质的真正的工具性．下面笔者结合近几年高考复习，整理几内涵．在与南安一中洪丽敏老师的交流中，她也感个例题说明导数思想在三角函数中应用，请给予批觉确实很多老师忽视把导数这个思想贯穿于三角函评指正．数的教学中，鼓励笔者整理一下形成文字，抛砖引1三角函数的单调性问题玉，让更多老师深入思考把如何导数思想更完美融 一道课本习题的解法探究与延伸作者：孟涛作者单位：福建省厦门大学附属实验中学363105刊名：福建中学数学英文刊名：FUJIANZHONGXUESHUXUE年，卷(期)：2013(12)引用本文格式：孟涛一道课本习题的解法探究与延伸[期刊论文]-福建中学数学2013(12)