Heisernberg群上低阶特征值的估计.pdf

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1、第36卷第3期湖北大学学报(自然科学版)Vol_36No．32014年5月ofHubeiUniversity(NaturalScience)——May，2014文章编号：1000—2375(2014)03—0195—04Heisernberg群上低阶特征值的估计杨贵诚，杜锋(1·湖北]_=业大学商贸学院基础课部，湖北武汉430079；2．荆楚理工学院数理学院，湖北荆门448OO())估。计、。的要：^研H：rnberg群H上的K。}】nLaplacian算子的特征值问题，通过构造合适的测试函数，给出低阶特征值一个一致不

2、等式．。⋯⋯⋯一关键词：Heisernberggti；KohnLapiacian算子；特征值；一致不等式中图分类号：O189．3文献标志码：ADOI：10．3969／j．issn．1000—2375．2014．O3．0O1EstimateforlowerordereigenvaluesonHeisernberggroupYANGGuicheng，DUFeng。(1·I)。partmengtofBasicCourse，BusinessCollege，HueiUniversityofTechno1ogy，Wuhan4300

3、79，China：2·School。fMathematicsandPhysicsScience，JichuUniversity。fTechn。1。gy，Jingmen44800O，China)Abstract：Westudiedtheeigenvalueproblem。fK。hnLaplacianOperatorDnboundedd。ma；nsinHesernberggroup，wegavealluniversalinequalityforthelowerordereigenvaluesandbyconstructin

4、gappropriatetrialfunctions．KeYwords：Heisernberggroup；KohnI-aplacianoperator；eigenvalue；universalinequalitv0引言及主要定理在一个(2”+1)维的欧氏空间。上定义下列不可交换的群运算：(，．y，￡)(z，，f)一(z+~2C／9y~j,t++(<，，>一(，，)))一。薏称_中为，H，e，i．sretn~byer∈gF群”，，记f，为fH∈”R．而；<矾，}Rnn上表李示代R数上”的的内基积为．具有这种群运算的(2+

5、1)维欧氏⋯空间一去～，一一考晏，丁一，户一，2，⋯，c。．2，季于上述向量场满足[一姗_1_2，⋯在Heisenberg群上有女口下定义的次椭圆算一divH。VH=∑(+)(0．3)其中div，V分别称为水平散度和水平梯度．△叫做Heisenberg群H上的KohnLDlacian算子．设是H”上的有界区域，而a是的边界，则Vf，g6c~(n)，是≥2，当-厂f砷一gf硼一0，有Jnfdiv~：(一)=J．Jn(f，’皤⋯>，“g—Jfng△⋯(O．5)收稿日期：2o13～lo一01作者简介：杨贵诚(1982)，男，

6、讲师；杜锋，通信作者，博士生，讲师，maiI：defengdu123@163．c。湖北大学学报(自然科学版)第36卷关于Heisenberg群上的特征值问题的研究已经有了许多成果，如文献[2—6]．接下来，我们考虑KohnLaplacian算子△H的Dirichlet特征值问题：』一△M“一“inn(0．6)lM一0OFt我们知道其具有离散的谱．2009年，E1Soufi等E6]证明了不等式∑(+一)≤∑(+一)(o．7)而在本文中我们将给出特征值问题(0．6)式的低阶特征值估计，关于各类流形及算子的低阶特征值的估计也

7、有许多成果，如文献[7]等．而在本文中，我们得到下述定理定理0．1设是珊”上的有界区域，九是特征值问题(O．6)的第i个特征值，而是与之对应的正交特征函数，即有：f△M一九UinI一0(0．8)Ijn，一懿，Vi,j一，2，⋯可得不等式：2n∑(一)≤(0．9)注记：由(0．9)式容易得到特别地，如”一1，则2A≤。+≤6可得譬≤3．^1由此，我们可以得到一个与欧氏空间上Dirichlet特征值问题相应的结论．1主要定理的证明我们将给出本文中主要定理的证明，使用的一些符号与计算，具体细节可参看文献[23]．定理0．1的

8、证明为方便证明，我们令Yp—X+，一+，p===1，⋯，n，可得△Mz一0，d一1，⋯，2n(1．1)2nl△l_l一1，∑jA．27。I=2n(1．2)—I2n∑(vVr~：x。>一△

9、“l(1．3)定义一个2n×2n矩形C：一()，这里Coe=}M1，a，卢一1，⋯，2n．由Gram—Schimidt正交化分解可知，存在着一个