2011届高三数学二轮复习-专题3 第1讲等差数列、等比数列

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1、专题三数列第1讲　等差数列、等比数列要点知识整合注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．注意：(1)a＝an－1an＋1是an－1，an，an＋1成等比数列的必要不充分条件．(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论．题型一等差与等比数列的基本运算热点突破探究典例精析例1(2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19，

2、公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.【题后点评】利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，由五个量a1，d(q)，n，an，Sn中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想．解答等差、等比数列的有关问题时，“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，求数列{bn

3、}的前n项和Tn.变式训练解：(1)a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n＋1(n∈N*)．(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)题型二等差、等比数

4、列的性质例2法二：对任意的等比数列，涉及前2n项和的，可取特殊数列：1，－1,1，－1,1，－1，…，则Y＝0，再取n＝1有X＝1，Z＝1，可排除A、B、C.【答案】(1)C(2)D【题后点评】等差数列与等比数列有很多类似的性质，抓住这些性质可以简化运算过程．例如当p＋q＝m＋n时，在等差数列{an}中有ap＋aq＝am＋an，而在等比数列{bn}中有bp·bq＝bm·bn.这些公式自己结合这两种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解．2．(1)在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是()A．q>1B．q<1C．0

5、n}满足2a2－a＋2a12＝0，且数列{bn}是等比数列，若b7＝a7，则b5b9＝()A．2B．4C．8D．16变式训练解析：(1)当q<0时，{an}为摆动数列，不具备增减性，当q>0时，由an－an－1＝a1qn－1－a1qn－2＝a1qn－2(q－1)>0，且a1<0，qn－2>0.∴q－1<0，∴q<1.综合知0

6、数列；(2)求数列{an}的通项公式．【规范解答】(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，即an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，3分∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn，由此可知{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列，【思维升华】判断某个数列是否为等差(或等比)数列，常用方法有两种：一种是由定义判断，二是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)．注意只要其中的一项不符合，就不能为等差(或等比)数列．而想判断某个数列不是等差(或等比)数列，只需看前三项即

7、可．变式训练方法突破例已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，又S15＝S37，a1>0，由二次函数图象性质可知，S26最大．【答案】26【题后拓展】数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作是关于正整数n的函数．利用“数形结合”研究数列问题就是借助函数图象进行直