复单位球上加权Berezin变换的Lp 范数.pdf

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1、第36卷第1O期湖州师范学院学报V01．36No．102014年1O月JournalofHuzhouUniversity0ct．，2O14复单位球上加权Berezin变换的L夕范数陈蓉珍，郑霞，周立芳(湖州师范学院理学院，浙江湖州313000)摘要：借助超几何函数的性质，结合Schur检验给出了复单位球上加权Berezin变换的L范数，推广了Liu和Zhou的关于复单位球上Berezin变换的L范数的结果．关键词：超几何函数；加权Berezin变换；Schur检验；算子范数中图分类号：O174．56文献标识码：A文章编号：1009—1734(2014)

2、10—0025—05MSC(2000)：47B38，32A26，47G100引言设B为复空间C上的开单位球，a>一1，加权Lebesgue测度定义为：d()一f(1一II)dv(z)．其中：c。一，使得。(B)一1；为单位球B上正规化的Lebesgue测度，满足(B)=1．设1≤P<0(3，加权Bergman空间A(B)是由所有的解析函数-厂构成的空间，且满足I『f：一(I『厂Id。)<+∞．它是L(B)的闭线性子空间．当P一2时，加权Bergman空间A(B)在内积(厂，g)一Ifgdv下构成Hilbert空间．注意到对固定的z∈B，在z处的点赋值泛

3、函是有界线性泛函，故由Riesz表示定理知，存在唯一的函数K(叫)∈A：(B)，满足f(z)一I厂(硼)K(硼)dv(叫)．JB其中：函数K(2，训)一K：(叫)称为Bergman空间A：(B)的再生核．具体为：未·设f∈L(B)，则，的加权Berezin变换Bf定义为：Bo一』。c)一f(砌)(1一lI。)计Jl／3l1一

4、数空间L(13)上的精确范数．由文献[1]中的定理2．10知，当I

5、：r(+1+a+)r(口+1一)BIIL}一Lg—pP(a+1)r(”+1+口)当P一∞时，上面的式子理解为1．Berezin变换是由Berezin首次引入的．对于单位圆盘上的Berezin变换，它的有界性是已知的事实，但它的精确范数直到2008年才由Dostani亡给出嘲．文献[1O]把Dostani亡的结果是推广到了高维，而本文的结果把文献Elo3中的结果推广到了加权的情形．1预备知识本文用到超几伺函数的知识，并用经典符号z’(a，；y，)表不超几何函数．其定义为：z；)'；z)--妻k=0手．㈩其中：y≠0，一1，一2，⋯；(a)0—1；(口)t

6、=Or(d+1)⋯(a+k—I)；k≥1．为方便参考，下面列出几个与超几何函数相关的公式Ⅲ]：zF1(a，fl；7~1)一帚’Re(r-a-f1)>。；(2)2F1(口，卢；y；z)一(1—2)一2F1(y一口，y一卢；y；z)；(3)zF(z)一(1一～Fl((4)Rey>Rea>0；Iarg(1一)I<兀；≠1．引理1若Re>0，且Re(A+一—)>0，则有：Jro．(，1一、)zF⋯·(a，卢；、；、出．r()r()r(+一口～J9)·(⋯5)证明注意到(5)式左右两边在z一1是连续的，令z一1，两边取极限，再利用(2)式即得此引理．引理2c如若

7、a∈R，且y>一1，则有：j’三d(，一詈zFl(a,a；n++y；fzf。，．引理3若a，J9>0，y∈R，且+口+卢一27>0，则有：Izl(1一ll)。一{JI。—d()}d()一!!!!!!!翌±±二F。(+a+一y)。证明对内积分应用引理2得：』IzIp(1一IzI)一F(Y,V；n+卢；lI)d(z)一·(1-r)『F1(卅．然后应用引理1即得所要结果．下面的引理通常被称作Schur检验，它在证明积分算子的Lp一有界性中起到了重要作用．引理4m假设(x，)是一个口一有限测度空间，K(，)是一个定义在X×X上的非负可测函数，丁是与其相关的积分

8、算子，定义为：Tf()=IJyK(z，)／’()d。()．第1O期陈蓉珍，等：复单位球上加权B