向量组及其线性相关性课件.ppt

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1、一n维向量及其运算第九讲向量组及其线性组合向量间的线性关系——线性组合与线性表示、等价n个数a1，a2，，an组成的有序数组称为n维向量，记为:a=(a1,a2,,an)，一n维向量及其运算1、n维向量定义:n维列向量n维行向量例1a1a2an或=注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．矩阵的行向量和列向量a11a12a1na21a22a2nam1am2

2、amnA=矩阵Amn中和每一行都是n维行向量,每一列都是m维列向量,它们分别称为矩阵的行向量和列向量a12a22am2a11a21am1a1na2namna11a12a1n()a21a22a2n()am1am2amn()............确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这

3、个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．思考题答36维的．如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．2向量的线性运算(I)加法运算给定向量向量的线性运算指加法与数乘(II)数乘运算1、定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性

4、组合，这时称向量b能由向量组A的线性表示．二向量间的线性关系例1设解问b能否由线性表示?所以:b能由a1，a2，a3线性表示例2设解问b能否由线性表示?所以:b能由线性表示(2)任何一个n维向量都能由单位向量组表示(1)向量组e1，e2，，en称为单位向量组...例3零向量是任何一组向量的线性组合例4向量组a1，a2，，am中的任一向量ai(1im)都是此向量组的线性组合o=0a10a20am证明ai=0a1+1ai0am证明定理12可线性表示的判定方法向量b可由向量组a1，a2，，am线性表示

5、R(a1a2am)=R(a1a2amb)例1给定向量组及向量问b能否由α1，α2线性表示?,若能,写出表示式解解方程组242-13-11-15111011102000000例2给定向量组及向量问b能否由α1，α2线性表示?,若能,写出表示式解242-13-1105111240-5-50340-9-9011102001000所以b不能由α1，α2线性表示例3给定向量组及向量问b能否由α1，α2,α3线性表示?,若能,写出表示式解02-11313465102-101-130408102-101-130102001-101021001小结向量能由向量组

6、A线性表示向量组B能由向量组A线性表示向量组A与向量组B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理使得(二)线性相关与线性无关(1)线性相关与线性无关定义:设有向量组l1，l2，，lm，否则称它线性无关如果存在不全为零的数a1，a2，，am则称向量组a1，a2，，am线性相关l1a1l2a2lmamo(2)线性相关与线性无关的判定定理2向量构成矩阵的秩<向量个数向量组线性相关a1，a2，，am齐次方程组x1a1x2a2xmam0有非0

7、解r(a1a2am)

8、线性无关例2判别下列向量组是否线性相关例2判别下列向