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《复变函数与积分变换第三章：复变函数的积分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1教师答疑时间为双周四中午12：00—1：15，地点在A教二楼教研休息室；3.助教答疑时间为周四中午12：00—1：15，地点A教二楼教研休息室2第三章复变函数的积分复变函数积分概念柯西积分定理复合闭路定理柯西积分公式3设C为平面上一条光滑(或按段光滑)曲线,选定C的两个可能方向中的一个作为正向,那末把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.封闭曲线正向为逆时针方向。如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线42.积分的定义5(67从形式上可以看成8是起点,是终点用参数方程将积分化成定积分94.积分的性质10证明：11三、典型例题
2、例1计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.解12说明同一函数沿不同路径所得积分值不同.13注意一般不能将函数f(z)在以a为起点,以b为终点的曲线C上的积分记成因为积分值可能与积分路径有关,所以记14例子2.计算n为正整数，C为以为圆心，r为半径的正向圆周。解：C的参数方程为所以因此15重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.16因此解：例3：计算积分的值，其中C：
3、z
4、=1分析：C的参数方程是17回顾设区域D的边界为光滑或分段光滑曲线L。格林公式（GreenTheorem）若函数P(x,y)与Q(x,y)在闭区
5、域D上连续且具有一阶连续偏导数，则18因此，如果，则所以如果f(z)在区域D内满足C-R条件则积分值为0，既是f(z)是解析的。19柯西-古萨基本定理(柯西积分定理)对解析函数而言，沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.20解例5计算当时,21由定理得22不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)23例3此方法使用了微积分中“分部积分法”24例7:求积分的值，其中积分路径C为连接0到的摆线：解：25柯西-古萨基本定理(柯西积分定理)问题：如果区域是多连通，以上定理可能不再成立，那么将会是什么结论？267.闭路变形原理复合闭路定
6、理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末2728A1A2A3A4C1C2EFGIH证明不妨设n=2.作两条辅助线(如图).这样由作为边界G,围成单连通区域.A1A2A3A4C1C2EFGIH30当n为其它值时，可同样证明.在公共边界(辅助线)上,积分两次,方向相反,积分值之和等于0.所以31解显然函数例9计算积分其中G为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.32在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2只包含奇点1.根据,33例1
7、1求积分其中G为含z0的解因为z0在闭曲线G的内部,任意分段光滑的简单闭曲线,n为整数.故可取充分小的正数r,使得圆周含在G的内部.可得再利用根据,34故这一结果很重要.与进行比较.35解36利用柯西-古萨基本定理及重要公式由柯西-古萨基本定理有373.4柯西积分公式39分析DCz0C140DCz0C141DCz0C42DCz0∴猜想积分C1C143定理(Cauchy积分公式)证明4445注意：此被积函数只有一个奇点，且此奇点就在曲线C中包含，并出现在分母上。46解例147解CC1C21xyo例2483.4.2高阶导数问题:(1)解析函数是否有高阶导数?
8、(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.49二、主要定理定理证50根据导数的定义,从柯西积分公式得515253再利用以上方法求极限依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]54三、典型例题例1解5556根据复合闭路定理5758例3解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得5960例解61例.证：在复平面上任取一点62小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数
9、的本质区别.判断被积函数的奇点，奇点数大于等于2，则可利用复闭合定理，而后根据情况使用柯西公式或高阶导数公式。高阶导数公式63例(Morera定理)证依题意可知书44页定理3.3证明64因为解析函数的导数仍为解析函数,65函数在区域D内解析等价条件总结：67（1）连续函数在光滑曲线上（参量方程可知）积分计算(2).解析函数积分柯西-古萨基本定理6868(3).函数在区域内有有限个奇点判断被积函数的奇点个数。单奇点情况用柯西积分公式或高阶导。奇点数大于等于2，则可利用复闭合定理，化为单奇点情况计算并求和。Example:69
