高一数学《反函数、幂函数》知识点

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1、高一数学《反函数、幂函数》知识点高一数学《反函数、幂函数》知识点1反函数的定义设函数=f(x)的定义域是A，值域是．我们从式子=f(x)中解出x得到式子x=φ()．如果对于在中的任何一个值，通过式子x=φ()，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ()叫函数=f(x)的反函数，记作x=f-1()，习惯表示为=f-1(x)．注意：函数=f(x)的定义域和值域，分别是反函数=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。2．反函数存在的条按照函数定义，=f(x)定义域中的每一个元素

2、x，都唯一地对应着值域中的元素，如果值域中的每一个元素也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素，通过对应法则=f(x)存在着一一对应关系，那么函数=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而=x2,x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．3．函数与数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇

3、偶性确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果

4、a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况可以看到：(1)所有的图形都通过(1，1)这点。(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减

5、函数。(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。()a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。(6)显然幂函数无界。1幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。2幂函数的图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、&fra12;时幂函数的图像和性质。3了解其它幂函数的图像和性质，主要有：①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x

6、轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在x=1的右侧指数越大越远离x轴。②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。4幂函数奇偶性的一般规律：⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域x>0或x≥0，没有奇偶性。⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。⑸指数是分子分母

7、为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。