食饵具有流行病的捕食-被捕食（SIS）模型的分析.pdf

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1、第32卷第9期四川兵工学报2011年9月【其他分析】食饵具有流行病的捕食一被捕食(SIS)模型的分析张靖(内蒙古师范大学数学科学学院，呼和浩特010022)摘要：建立并分析了食饵具有流行病的生态一流行病(SIS)模型，讨论解的有界性，得到了平衡点局部渐近稳定的充分条件。进一步分析了平衡点的全局稳定性，得到了边界平衡点和正平衡点全局稳定的充分条件。关键词：生态一流行病模型；渐近稳定；永久持续生存；传染病中图分类号：0175文献标识码：A文章编号：1006-0707(2011)09—0153～04本文考虑捕食者有密度制约，疾痫只在食饵之间传播，而且染病食饵会l病死亡的生态一流行病SIS模型。

2、假设捕食者不捕食有病食饵，染病食饵无生育能力。模型为f警=一flSl—cSY+81{dl=3st—d，一81(1)【dY=y(口一bY)+eSY其中：s，，分别表示食饵的易感者密度和染病者密度；Y是捕食者密度，所有系数均为正常数；r是食饵的内禀增长率；是传染率；占是恢复率；n是捕食者的内禀增长率；6是密度制约项；c是Y的捕食系数；e是消化系数(010，l，≥0上讨论。系统(1)有如下非负平衡点

3、：。-(0，0，。=(，，o)_(0，o'詈)=('0’÷)，(，业盟，)，l，)显然，如果r>詈，则边界平衡点存在；如果r>詈+垒r>。，则正平衡点A存在；由于r：詈+≥詈，所以r>詈是r>r的必要条件，即A的存在暗含了A3的存在，显然，当r≤詈时，系统(1)只有O=(o，0，0)，A=(，，o)，Az=(。，。，詈)三个平衡点。由此得定理1当r(o，詈]时，系统(1)只有o，A-，Az三个平衡点；当r(詈，r]时，除D，A，A：外，边界平衡点出现；当r=收稿日期：2011—07—08作者简介：张靖(1981一)，女，硕士，主要从事微分方程定性理论研究。l54四川兵工学报http-／／

4、scbg．joursew．corn／詈时，=A，；当r≥r时，除0，A，A：，，外，正平衡点A出现，当r：r时，A=A，。定理2设盯=br／-=，，则有如下结论：D总是鞍点，A。是不稳定的，<1时，边界平衡点A：是局部渐近稳定的，当>l时，Az不稳定，此时A，存在；当R。<1时，疾病消除平衡点A，局部渐近稳定，当Ro>1时，平衡点A不稳定，此时正平衡点A存在，而且是局部渐近稳定的，出现地方病。证设A=(S，，，l，)是系统(1)的任意～个平衡点，则系统(1)的线性近似系统在A处的特征方程为A一(r一，一CY)8S一6det一8IA一(S—d一6)=0(2)—el，0灯于半衡点O=(0，O

5、，0)，万栏(2)变为(A—r)[A+(d+6)](A一口)=0(3)显然方程(3)有2个正根，1个负根，因此，O是一个“鞍点”。对于平衡点A=(d+6卢，客，。)，方程(2)变为【九+r(d+)(4)显然方程(4)有正实部的特征值，所以A是不稳定的奇点。对于平衡点Az：(o，o，詈)，方程(2)变为[A一(r一詈)]『A+(d+6)+。)：0(5)显然，当r<詈时，边界平衡点Az是局部渐近稳定的．当r>詈时，它不稳定，这时边界平衡点A，存在。A对于平衡点A=(一，0，÷)，方程(2)变为‘c200一『IA一(巨!二丝)】[A。+brA-CeJC+￡C]=0(6)一y为讨论A，的稳定性，

6、把+式(6)改写成e一S(A—AA)=0其中A：盟A)：A+A十r二。由A的存在性可知，(o)=>0，显然，(A)=o必有2个负实部的特征根．由此，只要A<0，即r<罕+C。0OD=r成立，则疾病消失平衡点是局部渐近稳定的．当r>r时，，不稳定，此时正平衡点A存在。对于正平衡点A(S，，，Y)，特征方程(2)变为A+A+A+=0(7)记M1垒q+ed+e6，M2垒n一0qB—ced—ce6，贝0=段：竺±!±±塑±垒丝‘6=由A4的存在性知Ml>0，M2>0，从而Hi>O(i：1，2，3)。由于△．=日，>0△={l竺fI=日一=!—±l_-_b；‘d；!—±—。A3：A2>0张靖：食饵

7、具有流行病的捕食一被捕食(sIS)模型的分析155根据Hurwit判别法知，特征方程(7)所有特征根均有负实部，故平衡点A局部渐近稳定，从而A是地方病平衡点。2全局稳定性下面进一步讨论z，的全局稳定性。定理3当o-<_1时，边界平衡点：=(0，0，詈)在3+内是全局渐近稳定的。证因为={(5，，，l，)∈R：5≥0，，≥0，y≥0}是正向不变的，故只在上讨论。由系统(1)的第3个方程知：i，≥V(a—bY)作辅助方程()：(￡)[0