线代线性代数答案A0806.doc

《线代线性代数答案A0806.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数A0806参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1．设为的矩阵，其中均为维列向量，已知行列式，则行列式2．设，则3．设三阶矩阵，已知与线性相关，则4．二次型的矩阵是5．设，矩阵，则矩阵6．已知向量组，则此向量组的秩7．设四阶方阵满足条件，则的伴随的一个特征值为8．设，且的特征值为，如果有三个线性无关的特征向量，则9．设四元线性方程组的系数矩阵的秩为，均为此方程组的解，且，则方程组的通解为10．排列的逆序数为二、简答题（每小题4分，共8分）1．设是三阶矩阵，将的第一列与第二列交换得到，再

2、把的第二列加到第三列得到，简单介绍求满足的可逆矩阵的方法，并求出答：因为对作初等列变换，相当于在的右边，乘相应的初等方阵，初等方阵均可逆，所以可逆阵（简答与求各2分）2．设是阶方阵，已知有非零解，对任意的自然数，方程是否也有非零解？为什么？答：必有非零解2分因有非零解，故，从而，所以也有非零解。2分三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．求行列式的值：解：（每步骤各2分）2．已知，且，求矩阵解：显然可逆，由得（3分）因，（3分）故（2分）3．从向量组中选出一组最大无关组，并将其余向量表成最大无关组的线性

3、组合。解：选为最大无关组（也可选其它），则由，得，。（指出正确的最大无关组4分；将其余向量表成最大无关组的线性组合4分）四、计算题（二）（每小题12分，共24分）1．已知线性方程组讨论参数取何值时，方程组有解？无解？当有解时，求出其解。解：（3分）（1）当时，，方程组无解。（3分）（2）当时，，方程组有无穷解。其解为（3分）（3）当时，，方程组有无穷角解。此时其通解为（3分）2．设矩阵有三个线性无关的特征向量，求应满足的条件，并求可逆阵，使为对角矩阵。解：由矩阵的特征多项式得的特征值（4分）对于，方程组应有

4、两个线性无关的解，则。由得（2分）对应的两个线性无关的特征向量为（2分）对应的特征向量为（2分）则令，有（2分）五、证明题（每小题7分，共14分）1.设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示。证明：（1）因线性无关，故也线性无关，又线性相关，所以能由线性表示。（4分）（2）反证，若能由线性表示，利用（1），则能由线性表示，这与线性无关的已知矛盾。（3分）2．设均为阶方阵，且，证明可逆，并求其逆。证明：（3分）（3分）所以可逆，且（1分）