线代线性代数A201012答案.doc

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1、线性代数A201012答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．如果排列的逆序数为，那么排列逆序数为2．设的矩阵，其中均为３维列向量，已知行列式，则行列式.3．设为可逆方阵，则分块矩阵.4．设，则矩阵中第2行、第3列的元素是.5．向量组的秩为２，则6．三阶矩阵，且与相似，则.二、单项选择题（每小题３分，共18分）1．设均为阶方阵，，且，则下述结论必成立的是【Ｄ】A．B．C．D．2．设维向量组的秩为３，且满足，则该向量组的最大线性无关组是【Ａ】A．B．C．D．3．设为三阶矩阵，的特征值为，则下列矩阵中可逆的是【Ｂ】A．B．C．D

2、．4．设，则此二次曲面是【Ｃ】A．为锥面B．为柱面C．为椭球面D．单叶双曲面5．设是矩阵，是维列向量，是维列向量，且，则【A】A．当时，有解；B．当时，有惟一解；C．当时，有无穷多解；D．当时，有惟一解。6．若阶矩阵与有共同的特征值，且各自有个线性无关的特征向量，则【C】A．；B．，但；C．与相似；D．与不一定相似，但三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．解方程．解：第４行加到第３行后按第３行展开：所以，原方程的解为或2．设，求及解：又，利用矩阵的结合律3．解矩阵方程．求满足，其中．解：由得其中四、计算题（二）（每小题1

3、2分，共24分）1．为何值时，线性方程组(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并求出无穷多解时的通解。解：（１）当时，，方程组有唯一解；（２）当时，因为　　　从而，故方程组无解；（３）当时，因为从而，故方程组有无穷解．其解为2．设矩阵，（１）已知的一个特征值为３，试求；（２）求可逆矩阵，使得，其中为对角阵。解（１）由知（２）为三重特征根，为单根．的属于的特征向量，属于的特征向量取，则另注意：若，则五、综合题（每小题8分，共16分）1．设为阶正交阵，，证明矩阵不可逆。证明：为正交阵，故，又，故从而，故不可逆。2．设向量组

4、；向量组；向量组，向量组；若．证明：证明：只须证线性无关．设存在常数，使得　　　　（１）又因，向量组线性无关，而向量组线性相关，所以向量可由向量组线性表示且表示唯一．即存在使得　　　　　　　　　　（２）将（２）代入（１）并整理，得又由知向量组线性无关，故　　　　　　故向量组线性无关，从而另证：因即