线代线性代数复习.doc

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1、线性代数第1章行列式一、基本要求1．了解行列式的概念2．掌握行列式的性质3．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式二、内容简介1．排列和逆序数由自然数组成的一个有序数组称为一个排列。如果在一个排列中，则说它们形成了一个逆序（或反序），一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用表示。逆序数的求法：2．奇排列、偶排列3．对换4．阶行列式的定义：其中。2．行列式的性质性质1性质2互换行列式的两行或两列，行列式改变符号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式的值为0。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素

2、都乘以同一数，等于用乘此行列式。推论1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式外面。推论2行列式中某一行（列）的所有元素全为0，则此行列式等于0推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0性质4行列式中如果某一行（列）的元素都是两数之和：，则D等于下面两行列式的和性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（或列）对应元素上，行列式不变。性质6行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即例计算下列行列式的值1．2．3．3．行列式的计算①利用行列式的性质将行列式化为上

3、三角行列式②将行列式中某行（列）的尽量多的元素化为0，用行列式的按行（列）展开。第15章矩阵15．1矩阵及其运算1．矩阵的概念定义由排成的一个数表，这个表称为的矩阵，简称矩阵，记为，组成表中的个数，称为矩阵的元素，如为矩阵的第行列的一个元素。元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。的矩阵称为行矩阵的矩阵称为列矩阵时称为方阵。元素全为0的矩阵称为零矩阵。如果两个矩阵的行列数相同，称它们是同型矩阵。在同型矩阵中若对应的元素相同，即，则称矩阵相等，即2矩阵的基本运算（1）矩阵的加法定义如果都是矩阵，则（对应元素相加）

4、（2）数与矩阵的乘法定义数与矩阵的乘积（即乘矩阵中的每一个元素，反之可知：可以提出矩阵中每个元素的公因子）（3）矩阵与矩阵的乘法定义设，则称为矩阵的乘积，记为，其中即矩阵中的元素是中的第行与中的第列对应元素乘积之和矩阵的方幂：设为方阵，定义，则，注意这里的为正整数。注意：（1）矩阵乘法的非交换性。一般地（要使乘积均可行，必为同阶方阵），如果，则称可换。如常见的可换矩阵：①任意方阵与单位阵可换，即②与可换③与可换④若可换，则与可换，与可换，与可换(逆存在)（2）零因子的存在性。若，则称的左零因子，相应地，称右零因子。常见的错误：

5、若且推出如取有例设，求证（1）；（2）进一步地，因可换，则可换，故二项式公式成立，即，注例计算法1：数学归纳法。法2：，其中由二项式公式（4）矩阵的转置定义把矩阵的行（列）换成同序数的列（行）而得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记为。如一般地矩阵的转置满足下面运算规律：（1）；（2）；（3）；（4）（5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素位置不变所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记为方阵的行列式满足下列运算规律（为同阶方阵）：（1）；（2）（常见的错误）；（3）（虽然）3一些特殊的矩阵（1）对角阵、数量阵、单位阵对角阵：除主对角线元素

6、外其它元素全为零的方阵称为对角阵。数量阵：对角阵中对角线上的元素都相等。单位阵：数量阵中对角线上的元素全为1。如：（对角阵）；（数量阵）；（单位阵）矩阵多项式：设则称为的一个次多项式。反对角阵：除反对角线上元素外其余元素全为零的方阵称为反对角阵。（2）三角阵上三角阵：对角线以下的元素全为0的矩阵。下三角阵：对角线以上的元素全为0的矩阵。三角阵：上三角阵与下三角阵统称三角阵。上（下）三角阵的乘积仍为上（下）三角阵。（3）伴随阵伴随阵：由方阵中各元素的代数余子式所组成的矩阵，称为的伴随阵。容易验证（行列式的展开定理）（4）对称阵与

7、反对称阵对称阵：，即，形如，以对角线为对称轴的对应元素相同。反对称阵：，即，以对角线为对称轴的对应元素反号。例设是任一方阵，试证明均为对称阵。结论：任意方阵都可以表为一个对称阵与一个反对称阵之和事实上（5）正交阵正交阵：设为方阵，若（或），则称是一个正交阵。如：单位阵是正交阵，（各行向量或列向量均为单位向量）例已知为正交阵，证明证：由正交阵的定义知例试证若，则满足的充分必要条件是。15．2矩阵的秩定义在矩阵中，取行列交叉点处的个元素，按原来的相对位置，得到一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式。在矩阵中共有个阶子式。定义如果矩阵有

8、一个阶子式，并且所有阶子式（如果有）全等于零，则称为矩阵的最高阶非零子式，称为矩阵的秩，记为，并规定零矩阵的秩为0。当为阶方阵，时，称为满秩矩阵；是称为降秩矩阵。易知下列结论成立：（1）为满秩矩阵是非奇异的。（2）（3）（4）（5）设矩阵，则（6）当时，必有（7）设阶方阵，则