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1、希尔伯特几何公理石门中学高二（2）邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D……来表示；直线用a,b,c,d……来表示；平面用α,β,γ,δ……来表示。点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素那么点，几何元素之间又有一定的相互关系①点A在直线a上：②点A在平面α上：③直线a在平面α上：（直线的每一点都在平面上）④点B在点A与点C之间：（我自己规定的符号）⑤线段AB与CD相等：（原书是用号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号）⑥与相等：等等……（线段，角之类的能在点线面下给
2、出定义，具体在叙述公理的时候再说）在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号，，并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是
3、借用过来化简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）公理I关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得（存在性）；I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得（唯一性）；（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；I4：对于不在同
4、一直线的三点A,B和C，恒有一平面α，使得；（存在性）对于任一平面，恒有一点A，使得；I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面α，使得；（唯一性）（对于4,5，我们可以说三点确定一平面）I6：若且，则；I7：若两平面有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点B；I8：至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。公理II顺序公理本组公理有四条，规定了“在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。II1：对于点A,B,C，如果，则点A,B
5、,C是直线上不同的三点；这时，也成立；（如图）II2:对于点恒有一点，使得；（如上图）II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；根据上面，我们就可以定义线段了：对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段AC或CB的一点（如图）以上。接下来定义射线先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B
6、之间，但不在A,A’之间，则A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）公理III合同公理本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，记为因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：III2：若且，则；（根据1,2，我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到与等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互
7、相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A’B’，B’C’在同一直线a’上，且也无公共点。如果,则这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC（其中A,B,C共线）相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。我们先定义角的概念：对于不同一直线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为。O称为的顶点，射线OA，和射线OB称为的边。同样与A,B的次序无关。根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都
8、不在考虑的围。III4：对于，和一条射线O’A’，在射线O’A’所在的一个平面，有且只有一条射线O’B，使得与相等，记为。而且有。如同线
