高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的几何意义教学案 新人教A版选修.doc

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1、3．1.2　复数的几何意义预习课本P104～105，思考并完成下列问题(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？　　　　(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？　　　　　　1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数的模(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为

2、z

3、或

4、a＋bi

5、.(3)公式：

6、z

7、＝

8、a＋bi

9、＝r

10、＝(r≥0，r∈R)．[点睛]　实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　)(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(　　)(3)复数的模一定是正实数．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为(　　)A．(0,1)　　B．(1

11、,0)　　C．(0,0)　　D．(1,1)答案：A3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(　　)A．z＝1＋2iB．z＝1－2iC．z＝－1＋2iD．z＝－2＋i答案：B4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则

12、z

13、＝________.答案：复数与点的对应关系[典例]　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方．[解]　(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则即(a＋3)

14、(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.[一题多变]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，所以＋a2－2a－15＋7＝0，即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±.所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．利用

15、复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　　　　复数的模[典例]　(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且

16、z

17、＝，则复数z＝(　　)A．1＋2i　　　　　　　　　B．－1－2iC．±1±2iD．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且

18、z1

19、＜

20、z2

21、，则实数a的取值范

22、围是(　　)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]　(1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由

23、z

24、＝得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为

25、z1

26、＝，

27、z2

28、＝＝，所以＜，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案]　(1)D　(2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数

29、问题求解．[活学活用]1．如果复数z＝1＋ai满足条件

30、z

31、＜2，那么实数a的取值范围是(　　)A．(－2，2)B．(－2,2)C．(－1,1)D．(－，)解析：选D　因为

32、z

33、＜2，所以＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜.2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，∴

34、z1

35、＝＝10，

36、z2

37、＝＝.∵10>，∴

38、z1

39、>

40、z2

41、.复数与复平面内向量的关系[典例]　向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则+对应的复数是

42、(　　)A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i[解析]　因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，所以＝(－5,4),＝(5,－4)，所以＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以+对应的复数是0.[答案]　C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步