2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法学案新人教B版选修2_2.doc

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1、2．2.1　综合法与分析法　1.了解直接证明的基本方法．　2.理解综合法和分析法的思考过程及特点．　3.会用综合法与分析法解决数学问题．1．直接证明(1)定义：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用方法：综合法、分析法．2．综合法(1)定义：是从原因推导到结果的思维方法(由因导果)，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)推证步骤：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．3．分析法(1)定义：是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法(执果索因)，即从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已

2、知条件或已被证明的事实．(2)步骤：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．(　　)(2)分析法就是从结论推向已知．(　　)(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．欲证－＜－，只需证明(　　)A．(－)2＜(－)2B．(－)2＜(－)2C．(＋)2＜(＋)2D．(－－)2＜(－)2答案：C3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．答案：(0，＋∞)　综合法的应用11　如图，在四棱锥P

3、ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC.(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.[证明]　(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.综合法证明问题的步骤　　已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.证明：因为a、b、c是正数，所以b2＋c2

4、≥2bc，所以a(b2＋c2)≥2abc.　①同理，b(c2＋a2)≥2abc，　②c(a2＋b2)≥2abc，　③因为a、b、c不全相等，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．所以①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.　分析法的应用　在锐角△ABC中，求证：tanA·tanB>1.[证明]　要证tanAtanB>1，只需证>1，因为A、B均为锐角，所以cosA>0，cosB>0.11即证sinAsinB>cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB<0，只需证cos(A＋B)<0

5、.因为△ABC为锐角三角形，所以90°1.分析法证明数学问题的方法　　若a>0，证明－≥a＋－2.证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋.只需证≥，即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，只需证≥，只需证a2＋≥，即证a2＋≥2，即≥0，显然成立，所以原不等式成立．　综合法与分析法的综合应用　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.11[证明]　法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－

6、1成立，即证＋＝成立，即＋＝3，化简，得＋＝1，又需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即c2＋a2＝b2＋ac，又△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得cosB＝＝，所以a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．法二：(综合法)因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即c2＋a2＝ac＋b2，两边同时加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边除以(a＋b)(b＋c)，得＋＝1.所以(＋1)＋(＋1)＝3，即＋＝，所以(a＋b)－1＋(b

7、＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q，若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立．　　1.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即需证a2－2ab＋b