矩阵论 第六章 矩阵函数课件.ppt

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1、第六章矩阵函数矩阵的多项式表示与矩阵的最小多项式定义：已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。设为一个阶矩阵，为其Jordan标准形，则于是有我们称上面的表达式为矩阵多项式的Jordan表示。其中例已知多项式与矩阵求。解：首先求出矩阵的的Jordan标准形及其相似变换矩阵那么有定义：已知和关于变量的多项式如果满足，那么称为矩阵的一个零化多项式。定理：已知，为其特征多项式,则有我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。定义：已知，在的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的最小多项式，通常

2、记为。最小多项式的性质：已知，那么（1）矩阵的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。例1：已知一个Jordan块求其最小多项式。解：注意到其特征多项式为,则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状其中。但是当时因此有.例2：已知对角块矩阵,而分别为子块的最小多项式，则的最小多项式为即为的最小公倍数。例3：求下列矩阵的最小多项式解：（1）首先求出其Jordan标准形为所以其最小多项式

3、为。（2）此矩阵的Jordan标准形为从而其最小多项式为。（3）该矩阵的Jordan标准形为故其最小多项式为。（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式。矩阵函数及其计算函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义：设，为的个互不相同的特征值，为其最小多项式且有其中如果函数具有足够高阶的导数并且下列个值存在，则称函数在矩阵的谱上有定义。例：设又已知容易求得矩阵的最小多项式为并且所以在的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵的最小多项式为显然不存在，所以在的谱上无定义。考虑下面两个问题：（1）设，如果有定义，那么是否

4、也有定义？（2）设且可逆，如果有定义，那么是否也有定义？如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。定义：设矩阵的最小多项式为函数在矩阵的谱上有定义，如果存在多项式且满足则定义矩阵函数为如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多项式表示与幂级数表示定理：设，为矩阵的Jordan标准形，为其相似变换矩阵且使得，如果函数在矩阵的谱上有定义，那么其中例1：设求的Jordan表示并计算.解：首先求出其Jordan标准形矩阵与相似变换矩阵.我们称此表达式为矩阵函数的Jordan表示。从而的Jorda

5、n表示为当时，可得,于是有当时，可得,从而有当时，可得同样可得例2：设求的Jordan表示并计算解：首先求出其Jordan标准形矩阵与相似变换矩阵从而的Jordan表示为当时，可得于是有当时，可得故类似可求得矩阵函数的多项式表示定理：设函数与函数在矩阵的谱上都有定义，那么的充分必要条件是与在的谱上的值完全相同。设矩阵的最小多项式为其中为矩阵的个互异特征值且如何寻找多项式使得与所求的矩阵函数完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为次的多项式且满足条件这样，多项式中的系数完

6、全可以通过关系式确定出来。则我们称为矩阵函数的多项式表示。例1：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足于是可得解得所以其多项式表示为当时，可得于是有当时，可得故有类似地有例2：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足于是有解得所以其多项式表示为当时，可得于是有当时，可得故有类似地有例3：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个2次多项式，从而存在一

7、个次数为1的多项式且满足于是有解得所以其多项式表示为当时，可得从而可得当时，可得故有同样可以得到练习：设求的多项式表示并且计算矩阵函数的幂级数表示定义：设，一元函数能够展开成关于的幂级数并且该幂级数地收敛半径为。当矩阵的谱半径时，我们将收敛矩阵幂级数的和定义为矩阵函数，一般记为，即因为当时，有当时，有当时，有所以对于任意的矩阵，当时，我们有由此可以得到一些简单的推论：矩阵指数函数与矩阵三角函数这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即定理：设，那么当时，我们有证明：首先证明第一个等式现在证明第二个等式同样可以证明其余

8、的结论。注意：这里矩阵与的交换性条件是必不可少的。例：设那么容易计算并且于是有故有显然三者互不相等。另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。例：设是一个Hermite矩阵，那么是一个酉矩阵。证明：由矩阵指数函数公式可得这表明为一个酉矩阵。例：设是一个实的反对称矩阵（或反-H阵），那么为一个正交矩阵(或酉矩阵)。证明：设为一个实的