矩阵及二次型知识补充 课件.ppt

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1、§1矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换1由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记作二、矩阵的定义2简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.3行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式4行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O.例如：三、特殊的矩阵5形如

2、的方阵称为对角阵．特别的，方阵称为单位阵．记作记作．(一些教材上记作In)6同型矩阵与矩阵相等的概念两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.7注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如8表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数.四、矩阵与线性变换n个变量与m个变量之间的关系式9系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.10一、矩阵的加法定义：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B，规定为说明：只有当两个

3、矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.11知识点比较12交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称为矩阵A的负矩阵．显然13二、数与矩阵相乘定义：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为14结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设A、B是同型矩阵，l,m是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.15知识点比较16矩阵乘积中的元素cij等于前一个矩阵的第ｉ行与后一矩阵的第ｊ列相乘相加．17一、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中并把此乘

4、积记作C=AB．18例：设则19知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.20例P.35例5结论：矩阵乘法不一定满足交换律.（大多数都不满足）矩阵，却有，例从而不能由得出或的结论．21矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵lE与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵22(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A

5、、B可交换时成立23四、矩阵的转置定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT.例24转置矩阵的运算性质25例：已知解法126解法227定义：设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.（关于主对角线对称）如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵28五、方阵的行列式定义：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作

6、A

7、或detA.运算性质29定义：n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适

8、合上述等式的矩阵B是唯一的（如果有的话）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵，记作A－1.30线性变换的系数矩阵是一个n阶方阵A，若记则上述线性变换可记作Y=AX.31例：设线性变换的系数矩阵是一个3阶方阵记32一、线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式方程组可简化为AX=b．增广矩阵的形式333435定义：设有n维向量令则称[x,y]为向量x和y的内积．说明：内积是两向量之间的一种运算，其结果是一个实数．当x和y都是列向量时，可用矩阵乘法表示.向量的内积36向量的长度定义：令称

9、

10、x

11、

12、为n维向量x的长度（或范数）

13、．当

14、

15、x

16、

17、=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，

18、

19、x

20、

21、=0；当x≠0（零向量）时，

22、

23、x

24、

25、>0．齐次性：

26、

27、λx

28、

29、=

30、λ

31、·

32、

33、x

34、

35、．三角不等式：

36、

37、x+y

38、

39、≤

40、

41、x

42、

43、+

44、

45、y

46、

47、．xyx+yy37向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=

48、

49、x

50、

51、·

52、

53、y

54、

55、当x≠0且y≠0时，定义：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x和y的夹角．当[x,y]=0，称向量x和y正交．结论：若x=0，则x与任何向量都正交．xy38§5二次型及其标准形39解析几

56、何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0通过选择适当的的旋转变换使得mx'2+ny'2=0．定义：含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数称为二次型．40令aij=aji，则2aijxixj