相似矩阵及二次型知识要点

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1、相似矩阵及二次型知识要点一、内容提要1.向量的内积(1)定义1设有n维向量x=(x1,x2,···,xn)T,y=(y1,y2,···,yn)T,令[x,y]=x1y1+x2y2+···+xnyn称为向量x与y的内积.内积满足下列运算规律:(i)[x,y]=[y,x];(ii)[x,y]=[x,y];(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].(2)定义2称为n维向量x的长度(或范数).向量长度具有下列性质:(i)非负性:当x0时,

2、

3、x

4、

5、>0;当x=0时,

6、

7、x

8、

9、=0.(ii)齐次性:

10、

11、x

12、

13、=

14、

15、

16、

17、x

18、

19、;(iii)三角不等式:

20、

21、x+

22、y

23、

24、≤

25、

26、x

27、

28、+

29、

30、y

31、

32、.向量内积满足施瓦茨不等式:[x,y]2≤[x,x][y,y].称为n维向量x与y的夹角.当[x,y]=0时,称向量x与y正交.(3)当

33、

34、x

35、

36、0,

37、

38、y

39、

40、0时,(4)正交向量组的性质若n维向量a1,a2,···,ar是一组两两正交的非零向量组,则(i)a1,a2,···,ar必线性无关;(ii)(5)定义3设n维向量e1,e2,···,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,···,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,···,er是V的一个规范正交基.(6)施密特(Schmidt)正交化过程从线性无关

41、向量组a1,a2,···,ar导出与之等价的正交向量组b1,b2,···,br的过程称为施密特正交化过程．若a1,a2,···,ar是向量空间Ｖ的一组基，通过正交化,单位化,都可以找到与之等价的一组规范正交基e1,e2,···,er,称为把a1,a2,···,ar这个基规范正交化.(7)定义4若n阶方阵A满足ATA=E(即A-1=AT),则称A为正交矩阵.A=(aij)n×n为正交矩阵的充要条件是或(8)定义5若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.正交变换具有保持向量长度不变的优良性质.2.方阵的特征值与特征向量(1)定义6设A是n阶方阵,如果数和n维

42、非零列向量x使关系式Ax=x成立,那么,数称为方阵A的特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值的特征向量.

43、A-E

44、=0称为方阵A的特征方程,f()=

45、A-E

46、称为方阵A的特征多项式.n阶方阵A有n个特征值.若A=(aij)的特征值为1,2,···,n,则有(i)1+2+···+n=a11+a22+···+ann;(ii)12···n=

47、A

48、.(2)有关特征值的一些结论设是A=(aij)n×n的特征值,则(i)也是AT的特征值.(ii)k是Ak的特征值(k为任意自然数);是A的特征值.其中=a0+a1+·

49、··+amm,A=a0E+a1A+···+amAm.(iii)当A可逆时,1/是A-1的特征值;

50、A

51、/是A的特征值.(3)有关特征向量的一些结论(i)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.(ii)对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.3.相似矩阵(1)定义7设A，B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.相似关系的性质:(i)自反性:矩阵A与自身相似;(ii)对称性:若矩阵A与B相似,则矩阵B与A也相似；(iii)传递性:若矩阵A与B相似,矩阵B与C相似,则矩阵A与C相

52、似.(2)有关相似矩阵的性质(i)若矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.(ii)若矩阵A与相似，则1,2,···,n是A的n个特征值.(iii)若A=PBP-1,则Ak=PBkP-1;(A)=P(B)P-1.特别地,若有可逆矩阵P,使P-1AP=为对角矩阵,则有Ak=PkP-1;(A)=P()P-1.(3)An×n的对角化(i)A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.(ii)若A有n个互异的特征值,则A与对角矩阵相似,即A可对角化.4.实对称矩阵的相似矩阵(1)实对称矩阵的特征值为实数.(2)实对称矩阵

53、的对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)若是实对称矩阵A的r重特征值,则对应于的特征向量必有r个,且它们线性无关.(4)实对称矩阵必可对角化.即若A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使得P-1AP=,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.5.二次型及其标准形(1)定义8含有n个变量x1,x2,···,xn的二次齐次函数f(x1,x2,···,xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn称为二次型.二次型可记为f=xTAx,其中AT=A.A称为二次型f的矩阵,f称为

54、对称矩阵A