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1、高等数学(上)期中复习基本概念,基本定理,基本方法1.概念罗列函数(有确定对应规则),自变量,定义域及求法,有(上,下)界,无界,奇、偶函数,单调(增、减)函数,复合函数,直接函数与反函数(关于y=x对称),基本初等函数及对应图形,初等函数;极限,左右极限,单侧极限,无穷大与无穷小,无穷小的阶(高阶,低阶,同阶,数量阶),等价无穷小,连续(3定义),间断,间断点分类,导数,高阶导数,相关变化率,微分(线性主部).极值,驻点,最值(极值与最值区别);7种自变量的变化(1)自变量n→∞;(2)自变量x→x0；(3)自变量x→x0+0；(4)自变量x→x0-0；(
2、5)自变量x→∞；(6)自变量x→+∞；(7)自变量x→-∞。--双侧--双侧单侧单侧2.极限定义7种自变量变化的精准定义(1)自变量n→∞(2)自变量x→x0(3)自变量x→x0+0(4)自变量x→x0-0(6)自变量x→+∞(5)自变量x→∞(7)自变量x→-∞5种函数的变化(3)函数f(x)→∞即f(x)无穷大；(4)函数f(x)→+∞即f(x)正无穷大；(5)函数f(x)→-∞即f(x)负无穷大。(1)函数f(x)→极限A;(2)函数α→0即α无穷小;5种函数变化的精准定义(1)函数f(x)→A(2)α无穷小(3)f(x)无穷大(4)f(x)正无穷大
3、(5)f(x)负无穷大极限的7个定义及无穷大与无穷小的相应定义组合的例子：,当时,有设f(x)在
4、x
5、充分大时有定义.如果对于X>0,当
6、x
7、>X时,恒有则称是f(x)当x→∞时的极限,记作或设在的某一去心邻域内有定义.如果对于当时，有或设在的某一去心邻域内有定义.如果对于当时，有或1.用倒推法导出希望的条件(不是结果或事实)；证极限是从出发导出N(或δ或X)。技巧是放大。证∞是从出发导出N(或δ或X)。技巧是縮小。2.套定义复述。即：用定义证极限(或∞)的步骤：当时,有(共35个可能)例设，用定义证明:;2、。1、3.基本定理极限及无穷小的性质,无穷小与极
8、限的关系,极限性质:惟一,有界,保号,局部服从全体.极限的四则运算与复合运算性质(参与的变量极限一定要存在);连续函数经+,-,*,/与复合运算后仍连续;闭区间上连续函数的(两类)性质:有界,介值.可导必连续,连续不一定可导.左右极限,左右连续,左右导数.可导充要条件是可微.dy=y’dx.4个微分中值定理.4.极限的求法:若函数连续:,初等函数在定义区间内连续.四则运算,有理函数在的计算公式,去0因子,及有理化;变量代换,有界与无穷小之积是无穷小.无穷大与无穷小(除0外)互为倒数关系.两准则;两极限;等价无穷小替换(注:只用于乘除,加减不能用)洛必达法则5
9、.导数的求法定义(导数是切线斜率)多用于抽象函数或分段函数在固定点.初等函数求导,基本初等函数求导公式,求导(+-*/)运算法则,复合函数求导公式,反函数求导公式;隐函数求导方法,对数求导法,参数方程求导公式,高阶导数公式.隐函数求导要点:方程两端同时关于x求导,遇到y时,将y当作中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y′,最后解出y′.对数求导注意点:要充分地使用对数性质,将对数性质发挥至极致.适用于(1)幂指函数;(2)多因子乘积.参数方程求导注意点:y,y′是t的函数,对t求导后一定要及时除以xt.（3）莱布尼茨（Leibniz）公式高阶导数公式求高阶导
10、数的方法小结抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求(高阶)导数,多用定义求得.具体函数的低阶导数要由一阶导数,二阶导数,…,依序算出.简单函数类的高阶导数求至3,4阶后,尽量把它们变换成同一形式,用不完全归纳法得一般规律.或套公式(1)做.简单函数类指f(x)=xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等和中间变量为线性的函数复合而成.不太复杂函数的高阶导数,先化成简单函数类的线性组合,而后用高阶导数的线性运算法则即公式(2)做.尤其是多项式和简单函数类乘积的高阶导数,用Leibniz公式.6.微分中值定理条件:满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）
11、在开区间(a,b)内可导；（3）结论:在开区间(a,b)内至少有一点，使微分中值定理的特点罗尔中值定理适用于有关方程的根(牵涉到一个函数);拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量;拉格朗日中值定理的推论(导数为零的函数是常数)适用于恒等式;柯西中值定理适用于方程的根(牵涉到两个函数);泰勒中值定理涉及函数的高阶导数.例设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导.f(0)=1,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得此类：辅助函数F(x)=xλf(x)例设f(x)可导,证明f(x)的任意两个零点之间一定有的零点.此类：辅助函数F(x)=ekx
12、f(x)7.洛必达法则(24个)使用说明:(1)可反
