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1、4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得=投影公式为非零向量,则∥向量积的行列式计算法=为非零向量,则∥右图三角形面积S＝＝三、向量的混合积定义设混合积的坐标表达式（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：当组成右手系时，为正；当组成左手系时，为负.内容小结空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.绕y轴的旋转曲面:内容小结三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:二次曲面一、空间
2、曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为设空间曲线C的一般方程为设消去z得则C在xoy面上的投影曲线C´方程为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程即为曲线C的投影柱面求曲线在坐标面上的投影一般方法投影曲线的研究过程空
3、间曲线投影柱面投影曲线四、空间曲面或立体在坐标面上的投影例8解第一步第二步第三步内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结直线2.线与线的关系直线夹角公式:平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:4、点到面的距离、点到直线的距离到直线的距离到平面的距离5异面直线的距离P1P25解由题设条件得解得例6求极限解其中多元函数极限例5求此函数定义域不包括x,y轴１、极限２、设，要使在（0，0）处连续，则A=1
4、。利用已有的一元函数的极限例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解令故函数在(0,0)处连续.当时或证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．练习来求重极限.例如极限不存在因为当沿曲线趋向于时，结果与有关，但若用量代换：，.则有这个结果显然是错误的.问,是否有提示:取y=kx,x0,k1,且k趋于1的速度比x趋于0的速度快得多.当t时例8解思考题2、二元函数f(x，y)在点（x0，y0)处两个偏导数存在，是f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条
5、件又非必要条件5、二元函数在点(0,0)处(A)连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时随着k的不同，该极限值也不同，所以极限不存在，f(x，y)在（0，0）不连续。一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则例5.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中
6、间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.x和z是独立 的变量用微分的方法求解练习设其中f具有二阶连续偏导数，求解练习设其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求解1.设其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续二阶偏导数，求解练习练习.设f，g为连续可微函数求解设解练习设f具有连续二阶偏导数，求及4:设变换可把方程简化为，求常数a。解法一将上述结果代入原方程，经整理后得依题意a应满足且解之得a=3。把u,v看成中间变量解法二将z视为以x，y为中间变量的u，v的二元复合函数由题设可解得从而依题意即
7、令得故a=3代入前式，得定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确例4.设解法1直接法再对x求导)解法2利用公式设则两边对x求偏导解二令则解法2利用公式令用复合函数求导法解法一(公式法)设有隐函数其中F的偏导数连续,求例5法二(直接法)设有隐函数其中F的偏导数连续,求因为z是x、y的函数,利用复合函数求导法,方程两边分别对x和y求偏导数,得分别解出得例5其中F的偏导数连续,求法三(微分法)将隐函数方程两边取全微分,得即故从而设有隐函数例52
8、002年考研数学(四),7分有连续偏导数,且解法一则用公式故而所以例6有连续偏导数,且法二用微分方法两边微分,得故故2002年考研数学(四),7分例6解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项
