线代总复习课件.ppt

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1、1.1矩阵的概念由m×n个数aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)按照一定顺序排成的m行n列的矩阵数表：称为m×n矩阵（或m行n列矩阵），简称矩阵。当m=1时：当n=1时：11.1矩阵的概念：方阵当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为n阶方阵。主对角线阶梯形矩阵：设A=(aij)m×n，若当i>j(i

2、上元素外其余皆为零。记作：31.1矩阵的概念：特殊的矩阵单位阵：主对角线上元素全为1的对角阵。记作：数量阵：主对角线上元素全为常数k的对角阵。记作：41.1矩阵的概念：特殊的矩阵三角阵：主对角线下（上）面的元素全为零的方阵称作上（下）三角阵.上三角阵下三角阵5方阵：行和列相等的矩阵同型矩阵：行和列分别相等的两个矩阵相等矩阵：两个同型的且对应位置上的元素分别相等的矩阵负矩阵：设有矩阵A=(aij)m×n,设其负矩阵为-A=(-aij)m×n.实矩阵：矩阵的元素都为实数复矩阵：矩阵的元素含有复数61.2矩阵的运算：线性运算矩阵的相等：两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列

3、数，且对应元素相等。即：1.同为m行n列矩阵2.对应元素相等=矩阵的加减法：矩阵的和：设同型矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n，称矩阵C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n为矩阵A和B的和，记为C=A+B。矩阵的差：记为A-B=A+(-B)。71.2矩阵的运算：线性运算性质1.2.1：设矩阵A,B,C,D为同型矩阵，则：A+B=B+A（交换律）(A+B)+C=A+(B+C)（结合律）A+O=O+A=AA+(-A)=(-A)+A=O81.2矩阵的运算：线性运算数量乘积：设A=(aij)m×n，k为常数。则称：为常数k与矩阵A的的数量乘积，简称数乘。性质1

4、.2.2：设A,B为同型矩阵，k,l为常数,则：k(A+B)=kB+kA（对矩阵的分配律）(k+l)A=kA+lA（对数的分配律）(kl)A=k(lA)1A=A,(-1)A=-A,0A=O91.2矩阵的运算：乘法运算定义1.2.4：设矩阵A=(aik)m×s与B=(bkj)s×n，称由元素：组成的矩阵C=(cij)m×n为矩阵A和B的乘积，记作AB。即：相乘的条件：A的列数必须等于B的行数。101.2矩阵的运算：乘法运算11定义1.2.6：设A为n阶方阵，则称：为A的多项式。1.2矩阵的运算：乘法运算定义1.2.5：设A为n阶方阵，k为正整数。则称k个A的连乘积称为A的k

5、次幂，记作Ak.121.2矩阵的运算：矩阵的转置定义1.2.7：将矩阵A=(aij)m×n进行行列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。性质：(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT(k是常数)(AB)T=BTAT131.2矩阵的运算：定义1.2.8：设A为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵。若AT=-A，则称A为反对称矩阵。对任一n阶方阵A，则有A+AT，AAT，ATA都是对称阵，而是A-AT反对称阵。由于：所以任一n阶方阵A，都可以写成对称阵与反对称阵的和。141.3方阵的行列式及其性质三阶行列式的定义：对角线规则展开法求行列式：显然，展开

6、法可以推广到n阶行列式。注：对角线法只用于求三阶行列式。151.3方阵的行列式及其性质n阶行列式：代数余子式：在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij；Aij叫做元素aij的代数余子式.Aij=(–1)i+jMij,D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n),163.方阵的行列式及其性质性质1.3.1：方阵转置时，行列式的值不变：行列地位平等性质1.3.2：互换行列式两行（列），行列式变号。若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行

7、列式的值为零。性质1.3.3：用数k乘行列式某一行（列）中所有元素，等于用k乘此行列式。行列式中某一行（列）的公因子可以提出到行列式外。173.方阵的行列式及其性质性质1.3.4：行列式中有两行（列）其对应元素成比例，则此行列式的值为零。行列式中某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零性质1.3.5：行列式中某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和。行列式中某一行（列）的所有元素都是m个数的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。性质1.3.6：行列式的某一行（列）加上另一行