线代总复习赖增强ppt课件.ppt

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1、线性代数总复习要求：理解行列式的概念，计算低阶及特殊的行列式。两个定义：n阶行列式、n阶方阵行列式一、行列式会用其性质与展开式定理两个重要概念：余子式和代数余子式注：行列式是一个算式，它表示由n2个数按照下列规则运算所得到的一个数。（项数、乘积项、符号）2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积3、性质4、特殊关系式1、定义是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式化为三角形行列式，是计算行列式的重要方法。5、展开定理例题1计算下列行列式解r4-100r2r2-2r1r4-r1r3-0.5r2r4-0.5r22）设行列式解例题

2、(3)解解(6)计算(7)解方程此为范德蒙行列式（8）解:原式=(9)(10)分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程组。主要内容：二、矩阵矩阵是线性代数中最基本的概念之一，它贯穿于全书的各个方面，因而把代数称为矩阵代数.矩阵的概念、运算、初等变换、秩、逆矩阵1、定义由m×n个数(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，特别：零矩阵、n阶方阵、行（列）矩阵、n阶对角阵、三角阵、单位阵。2、矩阵的线性运算与矩阵转置矩阵的运算律(略)特殊矩阵：A为n阶对称矩阵若A为n阶反对称矩阵若阶梯阵

3、A与行最简阶梯阵B1、每个阶梯只占一行2、每个阶梯使第一个数非零3、阶梯的左下方每个元素为零B中某个阶梯上的第一个数都是1，这些1所在列其它元素全为零。定义n阶方阵A可逆3、可逆矩阵的定义则称A是可逆方阵,则B是A的一个逆矩阵。中若存在方阵B,使对于一般矩阵而言4、可逆矩阵的性质设A、B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则5、求方阵A的逆矩阵的方法特别：6、矩阵的初等变换共三种7、初等矩阵互换阵倍加阵倍乘阵用初等方阵左(右)乘A，相当于对A作初等行（列）变换得到的矩阵，注:(1)初等矩阵都可逆；(2)初等矩阵与初等变换的关系1、R（A）

4、：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：3、关于秩的重要结论8、矩阵的秩矩阵的秩（续）9、秩的求法：1)R(A)：A的不等于0的子式的最大阶数。2）初等变换法：秩(A)=T的阶梯数3）若P可逆，则常需先验证P可逆例题2---(矩阵1)1设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则例题2---(矩阵2)2设A、B都是n阶方阵，则e例题2---(矩阵3)解例题3---(逆阵1)解1例题3---(逆阵2)解2）例题3---(逆阵3)3、设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，解关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E分析

5、例题4---(逆阵4)4、已知解例题5设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，则得显然A-E、B均可逆，并且对式（1）左乘（A-E）-1，右乘B-1，得1、左右次序2、左右乘逆解例题6---矩阵的秩R(A)=2初等变换例题7---矩阵设A、B分别是5阶、3阶方阵，且求解10分块矩阵分块对角阵及其性质其中均为方阵。2、4、3、秩（A）=秩5、可逆时，则A可逆，且线性方程组解的存在性定理各种解法解的结构三线性方程组的解法与解的结构定理1设有非齐次线性方程组方程组---1---存在性定理2设有齐次线性方程组设

6、R(A)=r,则定理1设有齐次线性方程组（2）方程组---2---通解、基础解系方程组---2---通解、基础解系定理2设有非齐次线性方程组（1）方程组---3---解的结构（2）（1）性质1性质2方程组的解法（1）（阶梯型），利用T判断?(行最简形）3、写出以T0为增广矩阵的同解方程组。4、适当移项（解不唯一），并“配齐”写出通解。（阶梯型），利用T判断?(行最简形）3、写出以T0为系数矩阵的同解方程组。4、适当移项（解不唯一），并“配齐”写出通解。无解]（可用克莱姆法则）方程组---4---例题1求如下线性方程组的通解解对增广矩

7、阵进行初等行变换与T相对应的同解方程组为：移项并“配齐”得：则通解为方程组---4---例题2讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、解对增广矩阵进行初等行变换有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。例题2（续）例题2（续）则通解为则得一同解方程组为方程组---4---例题3讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。解系数行列式所以1):2):例题3（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.2):则通解为方程组---4---例题4---判别(1)对齐次线性方程组AX=0来

8、说,以下哪个结论正确?方程组---4---例题4---判别(2)对非齐次线性方程组来说,例题4（续）(4)齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是(3)方程组---5---两个结论此时A可逆此时A的n-1阶子式全为0,A*=0方