2019年电类高等数学电子教案13 课件.ppt

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1、第六节直接法将函数展开成幂级数二、泰勒级数一、泰勒(Taylor)公式三、直接法将函数展开成幂级数举例两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)公式定理13.8(泰勒中值定理)如果函数在的某邻域内有阶导数，则对此邻域内任意点,至少存在一点,介于与之间,使得成立.上式称为函数f(x)在点处的n阶泰勒公式.其中最后一项称为泰勒公式的拉格朗日余项.记作:(在x与x0之间)在泰勒公式中，当00=x则有n阶麦克劳林公式)(!)0(!2)0(!1)0()0()(xRxnfxfxffxfnnn+++++=L其中余项)()(nnxoxR=

2、或它是比nxx)(0-高阶的无穷小.当时,当时,泰勒公式化为这就是拉格朗日中值定理.(在x与x0之间)那么幂级数导数,二、泰勒级数设函数在某邻域内有任意阶定义13.9称为函数f(x)在处的泰勒级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?问题:定理13.9设函数f(x)在点x0的某一邻域内,函数f(x)具有任意阶导数,由上定理可知:则函数f(x)的泰勒级数收敛于f(x)的充要条件为(1)如果f(x)在处的泰勒级数收敛于f(x),就说f(x)在处可展开成泰勒级数,当时,(2))(!)0(!2)0(!1)0()0()(xRxnf

3、xfxffxfnnn+++++=L称为函数f(x)的麦克劳林展开式.则设f(x)能展成的幂级数,即所以展开式唯一,且当时就展成麦克劳林级数.由泰勒级数理论可知,(2)求函数及其各阶导数在x=0处的值;(3)写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;(4)判别在收敛区间(－R,R)内是否为0骤如下:三、直接法将函数展开成幂级数举例—利用泰勒公式(1)求的各阶导数；例13.6.1解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数展开成x的幂级数.将函数解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足例13.6.2展开成x的幂级数.将函数

4、类似可推出:将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,例13.6.2易求出则为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式(即二项式定理).由此可得:用直接展开法来求函数的泰勒展开式，往往计算量很大，而且研究余项的极限也不是容易的，因此在做函数的幂级数展开时，只要有可能，都用间接展开法，我们下节将重点学习间接展开法．1.函数的幂级数展开法(2)直接展开法—利用泰勒公式;2.常用函数的幂级数展开式小结(1)泰勒公式与泰勒级数当m=–1时思考题13.61．函数的泰勒级数收敛于的充要条件是什么

5、？答:如果在的某邻域内，函数具有任意阶导数，则函数的泰勒级数收敛于的充要条件是：当时泰勒余项.2．直接法将函数展开成幂级数的一般步骤是什么?答:直接法将函数展开成的幂级数的一般分为四步：(1)求的各阶导数；(2)求函数及其各阶导数在原点处的值；(3)求出对应的幂级数的形式和收敛域；(4)讨论泰勒余项的极限是否为零.结束放映再见！