2019年电类高等数学电子教案121 课件.ppt

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1、在物理学中，如果作用在质点上的力是一个位移向量为，那么常力所做的功等于两个向量与的数量积，即第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念和性质1．实例——变力沿曲线所做的功始终不变的常力，使得该质点沿着直线产生的在坐标平面上，设有一个质点在变力的作用下，沿着有向光滑曲线从点移动到点其中，函数，在曲线上连续．求变力所做的功（图12.18）．然而，在自然界中，广泛存在着变力作用已知下面来讨论这个问题.于物体，使其沿着曲线移动而做功的情形．图12.18在曲线从点到点依次用分点，，…，把分成个有向小弧段，设分点的坐标为.现在已经不能用前面的

2、（1）分割（2）近似解决．考虑用定积分的思想方法来公式进行计算，但仍然可以任取其中一个有向小弧段，由于其来近似代替，其中和为向量在轴和轴上分向量的数量．由于函数，在曲线上连续，其在有向小弧段上的变力的变化不大，可以用该有向小弧段上任意一点处的力弧段上变力所做的功就可以用常来代替．于是，在有向小很短且光滑，因此可以用向量力沿着向量所做的功近似地代替在这个向量上的各常力做功的总和为它可以作为所求变力所做的功的近似值(3)求和即即用表示所有小弧段的长度的最大值．显然，当对曲线无限细分,即时,上述和式的极限就是变力所做的功：抛开上面问题的具体意

3、义，一般性地研究这种和式的极限，可以得到下面的定义：（4）取极限2．对坐标的曲线积分的概念限值为函数在曲线上对坐标的曲线积分,所有小弧段的长度的最大值．在每个小弧，，…，把分成个有向小弧段定义12.2设是坐标平面内的一条有向光滑曲线，函数在上有定义，用分点记在轴上分向量的数量为，为段上任取一点，作和式，如果当时，这个和式的极限存在，则称此极记作，即则记作,称为被积表达式，称为积分弧段．类似地，可定义函数在曲线上对坐标的曲线积分其中，与称为被积函数，及积分与函数对坐标的曲线积分同时出现，简记作如果在曲线上，函数对坐标的曲线x如前述变力所做

4、的功即可表示为或性质1设，是两个常数，则性质2如果将曲线分成光滑的两段和，记作，则2．对坐标的曲线积分的性质其中为参数，且和分别对应曲线的起点和终点(这里，和之间的大小关系可以任意给定，包括可以大于)．二、对坐标的曲线积分的计算性质3如果改曲线的方向为其反向，则设曲线的参数方程为特别地，如果曲线的方程为，和分别对应的起点和终点，则当参数由变化到时点就从曲线的起点到终点描绘出整个有向弧段．于,,则如果与在曲线上连续，由如果曲线的方程为，和分别对应的起点和终点，则例1.计算其中L为沿抛物线从点的一段.解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则

5、例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例3计算，其中分别是（图12.20）（1）直线上从原点到点的直线段；图12.20（2）抛物线上从原点到点一段弧；（3）立方抛物线上从原点到点一段弧．解曲线的起点对应，终点对应．（1）由于，，于是（2）由于，，于是（3）由于，，于是从上述例子可以看出，当沿着不同的问题．积分与积分路线无关呢？下一节将讨论这个（如例12.11）．那么，在什么条件下，曲线相等（如例12.10），

6、有时曲线积分却不相等与终点也分别对应相同，但是有时曲线积分曲线进行积分时，虽然积分表达式相同，起点1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧1．对坐标的曲线积分如何计算？思考题12.42．将对坐标的曲线积分化为定积分时，其积分上下限是如何确定的？1．计算，其中曲线是圆周，上从0到的弧段．2．计算，其中曲线分别是：（2）抛物线，都是从点到点练习题12.4（1）直线