2019年电类高等数学电子教案7 课件.ppt

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1、难点：定积分的换元积分法与分部积分法。第七章定积分教学要求1、理解定积分概念和定积分的性质。2、知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。3、掌握牛顿-莱布尼兹公式，熟练地用它计算定积分。4、掌握定积分的换元积分法和分部积分法。重点：定积分的概念及几何意义，牛顿–莱布尼茨公式;第一节定积分的概念第二节定积分的性质第三节微积分基本公式第四节定积分的换元积分法第五节定积分的分部积分公式第六节无穷区间上的反常积分一、两个实例二、定积分的概念三、定积分的几何意义第一节定积分的概念引例7.1曲边梯形的面积一、两个实例abxyo设是定义在上的非负连续函数（如图），由

2、曲线与直线围成的图形称为曲边梯形．（1）分割区间任意分成将个小区间，其分点是每个小区间可表示为即（2）近似在每个小区间上任取一点并以不变的代替上各点的函数值,那么以小区间长度为高的小矩形面积就是，设小从数值上看，这样的近似乃是“以常代变”，而从上面的“以直代曲”．轴的直线段代替曲线段上以平行于图像上看，这是在小区间为底，，则曲边梯形面积为（3）求和曲边梯形面积的近似值，即（4）取极限求曲边梯形的面积，记当时，就有因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是从几何直观可以看出，随着分割的越来越细，且每个小区间的长度都

3、趋近于零时，和式的极限就是所引例7.2变速直线运动的路程设一物体沿直线运动，它的速度是时间t的函数求物体从时刻t=a到t=b这段时间所经过的路程s．于是，可仿照引例1进行如下讨论：由于速度随时间而变，所以不能简单地套用匀速运动计算路程的公式.可以想象，在一段有限的时内速度虽可能有较大的起落，但在很短的一瞬间间，速度是来不及有很大变化的，这就是说，在每一短暂的瞬间可近似地把物体运动作为匀速运动来处理．（1）分割，即将时间区间任意分成个小区间，其分点是每个小区间可表示为（2）近似设物体在此时段内行经的路程为在每个小区间上任取一个时刻并把物体在时段内的运动当作以

4、为速度的匀速直线运动处理，则而从运动学的角度看，这是“匀代不匀”，即其中这里的近似，从数量上将非匀速直线运动近似地作匀速直线运动处理．（3）求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上内物作匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间体运动的路程就可以用这一物体分别在个小区间上个匀速直线运动的路程的和近似代替．即作上以常量代替变量看是“以常代变”，即在（4）取极限容易看出，当所分时间区间愈短，即变小时，和式的极限就是所求的物体在时间区间上所经过的路程记当时，就有程为背景，建立起定积分的概念．上面两个案例，虽然实际意义不同，但是解决问题的方法和计算步骤是相同

5、的，最后都归结为求一个连续函数在某一闭区间上的和式的极限问题．在实践中还有众多的量需要依照类似的途径去理解与计算．故而需要以解决这两个问题的过二定积分概念定义7.1设函数在区间上有定义，在之间任意地插入个分点将分成个小区间，作和式上任取一点记，，并在每个小区间当时，若此和式的极限存在，且极限值既同区间的分割方法无关，也与点的取法无关，就称函数在区间上是可积的，并称此极限值上的定积分，记作为在积分变量被积函数被积表达式积分上限积分下限积分和从定积分的定义容易看出，定积分的值与积分变量的符号是无关的，即有根据定积分的定义，前面两个案例可以记为曲边梯形的面积变速

6、直线运动的路程面积的相反数，即带上个负号．今后，在被积函数时，常将定积分看作是由所围成的曲边梯形的面积，而在时将看作曲边梯形的所围成的曲边梯形面积的代数和．所以定积分的几何意义是：，，，三、定积分的几何意义解依定积分的定义及极限运算法则，有事实上，从几何意义也可以看出是围成矩形的面积．当然在时，面积应为，再带上个负号才成为定积分，故仍为．(其中C为常数)例7.1.1计算定积分理解并掌握定积分的概念理解并掌握定积分的几何意义小结7.11．定积分与不定积分之间有什么区别？2．定积分的值与哪些量有关？与哪些量无关？3．如何表述定积分的几何意义？答：不定积分讨论的

7、是函数的原函数，而定积分是一个和式的极限．牛顿-莱布尼茨公式又将两者联系在了一起．答：定积分的值与被积函数和积分区间有关，与区间的分割法、答：定积分的几何意义是曲边梯形的面积（当被积函数时）．思考题7.1的取法和积分变量无关．结束放映再见！