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1、随机变量的数学期望一、引例与背景二、离散型随机变量的数学期望三、连续型随机变量的数学期望四、数学期望的性质五、随机变量函数的数学期望一、引例1分赌本问题(产生背景)A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:A
2、AABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次
3、数记录如下引例2射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加二.离散型随机变量的数学期望分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的
4、平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好.例2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,
5、每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为例3如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是
6、否作此项投资?解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.例4商店的销售策略解例5分组验血解到站时刻概率例6解三.连续型随机变量数学期望的定义解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例7顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?1.设C是常数,则有2.设X是一个随机变量,C是常数,则有3.设X,Y是两个随机变量,则有4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质
7、类似.四、数学期望的性质解例8五、随机变量函数的数学期望1.离散型随机变量函数的数学期望解设随机变量X的分布律为则有因此离散型随机变量函数的数学期望为若Y=g(X),且则有2.连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型的,它的概率密度为f(x),则3.二维随机变量函数的数学期望解例9设(X,Y)的分布律为由于例10解小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质
