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1、本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，第三章第一节，下次课讲第三章第二节，第三节，第四节；下次上课时交作业P29—P30重点：二维变量函数的分布难点：二维随机变量函数的分布。第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望x+y=z的分布函数：考虑随机变量设Z为连续随机变量X与Y的和,求一、X、Y是连续型随机变量时：和的分布1.连续变量和的分布函数：第九讲二维变量函数的分布与期望特殊地，如果X与Y独立，则或例9-1-1（07数学一，11分）第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函
2、数的分布与期望2.平方和的分布设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),寻求的分布。考虑Z的分布函数：显然有从而有第九讲二维变量函数的分布与期望设二维连续随机变量(X,Y)的概率密度为例9-1-2解考虑Z的分布函数显然有从而有第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望3.最大值与最小值的分布设随机变量X与Y独立，它们的分布函数分别为(1)最大值的分布(最大小于号，小于都小于）(2)最小值的分布（最小大于号，大于都大于）第九讲二维变量函数的分布与期望推广到有限多个独立随机变量的情形,有特别地,若独立
3、同分布,设它们的分布函数为则第九讲二维变量函数的分布与期望解各部件的使用寿命的分布函数先求两个串联组的寿命的分布函数某仪器由六个相互独立的部件组成,联接方式如图所示。设各部件的使用寿命服从相同的指数求仪器使用寿命的概率密度。分布例9-1-3第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望再求仪器使用寿命Z的分布函数Z的概率密度为第九讲二维变量函数的分布与期望例题9-1-4（2008数学一，4分）第九讲二维变量函数的分布与期望例9-1-5（2001数学三，8分）第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与
4、期望第九讲二维变量函数的分布与期望二、离散型随机变量的数学期望（均值）1.定义：绝对收敛时。称当级数为随机变量的数学期望，又称均值设是一离散型随机变量，其分布列为：2.均值背景与说明（1）期望源自平均值之意：例如，某班20名学生，英语成绩按照5分计，该班学生成绩分布为第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望解3.例题讲解例9-2-1设随机变量服从“0—1”分布，求数学期望例9-2-2设随机变量，求数学期望解第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望例9-2-3设随机变量，求数学期望解例9-
5、2-4:几何分布第九讲二维变量函数的分布与期望第九讲二维变量函数的分布与期望三.连续型随机变量的数学期望1.定义背景第九讲均值、矩与方差2.定义：设为连续型随机变量,则的数学期望为:其概率密度为[注]假定广义积分绝对收敛,即存在.第十讲均值、矩与方差解的密度函数为：例9-3-1设随机变量,求数学期望3.例题讲解：例9-3-2设随机变量服从指数分布求数学期望的密度函数为：解第九讲均值、矩与方差四、随机变量函数的数学期望1.离散型一维变量函数的均值定义则定义随机变量函数的数学期望为：2.连续型一维变量函数的均值定义第九讲均值、矩与
6、方差[注]：假定积分绝对收敛。的数学期望为：则定义随机变量函数X的分布密度为，例9-4-1设随机变量的概率分布为：求随机变量函数的数学期望.-2-101230.100.200.250.200.150.10第九讲均值、矩与方差例9-4-2解第九讲均值、矩与方差例9-4-3第九讲均值、矩与方差第九讲均值、矩与方差五.二维随机变量条件下的单变量数学期望第九讲均值、矩与方差第九讲均值、矩与方差第九讲均值、矩与方差2.例题讲解：例9-5-1设二维随机变量(X,Y)服从区域D={(x,y)
7、0≤x≤1,0≤y≤x}上的均匀分布,求:E(X
8、),E(Y),E(XY).xyy=x第九讲均值、矩与方差例9-5-2一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障,系统还能正常工作,设两个子系统的工作寿命分别为:X,Y,且相互独立,并服从相同的指数分布:求:系统工作寿命T的数学期望.解:因为X,Y相互独立,所以第九讲均值、矩与方差xyy=x第九讲均值、矩与方差定理(1,2)证明若X是一连续型随机变量，则有：若X是一离散型随机变量，六、关于数学期望的定理1.定理与公式第九讲均值、矩与方差推论证若X与Y为离散随机变量：定理3若X与Y为连续型随机变量第九讲均值、矩与方差推
9、论定理4定理5设随机变量X与Y相互独立，则证若X与Y为离散随机变量：第九讲均值、矩与方差若X与Y为连续型随机变量=E(X)E(Y)定理6设随机变量X1,X2,…Xn相互独立，则2.例题讲解：第九讲均值、矩与方差=E(X)E(Y)例9-6-1第九讲均值、矩与方差第九讲均值、矩与
