证明微积分基本公式教学文案.doc

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1、证明微积分基本公式定义（定积分）设函数f(x)是定义在闭区间[a，b]上的连续函数，用n+1个分点a=x0

2、如果对于区间[a，b]任意的划分和点ξi在[xi–1，xi]上的任意取法，当d→0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，简称积分，记为其中为积分号，[a，b]称为积分区间，f(x)称为被积函数，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限。如果函数f(x)在区间[a，b]上的积分存在，则称f(x)在[a，b]上可积。上述定义中的积分限要求ab时，规定。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推

3、出。定理1（可积的必要条件）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的可积，则f(x)在[a，b]上有界。定理2（可积的充分条件）1．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的连续，则f(x)在[a，b]上可积。2．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的单调，则f(x)在[a，b]上可积。3．如果在闭区间[a，b]内除去有限个不连续点外，函数f(x)有界，则f(x)在[a，b]上可积。引理（微分中值定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]内连续，在开区间(a，b)内可导，则至少存在一点ξÎ(a，b)，成立等式f(b)−f(a)=f'(ξ)

4、(b−a)以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f(x)在闭区间[a，b]内连续，则可以证明f(x)在[a，b]上可积，于是存在新的函数F(x)，成立微分关系F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：因为f(x)在[a，b]上可积，f(x)的原函数F(x)存在，即F'(x)=f(x)，又因为可导函数必定连续，所以F(x)在[a，b]内连续，因此F(x)在[a，b]内满足微分中值定理的

5、条件。对于定义中区间[a，b]任意的划分，在各小区间[xi–1，xi]（i=1，2，…，n）上，函数F(x)也满足微分中值定理的条件，于是必定存在ξiÎ[xi–1，xi]，成立等式F(xi)-F(xi–1)=F'(ξi)(xi−xi–1)即F(xi)−F(xi−1)=f(ξi)Δxi对于每一个小区间[xi–1，xi]（i=1，2，…，n），以上等式都成立，将各个小区间内的上述等式左右两边分别相加，可以得到F(x1)−F(x0)+F(x2)−F(x1)+…+F(xi)−F(xi–1)+…+F(xn–1)−F(xn–2)+F(xn)

6、−F(xn–1)=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn–1)Δxn–1+f(ξn)Δxn即令d=max{Δxi}→0，以上等式两边分别取极限等式的左边F(xn)−F(x0)=F(b)−F(a)是常数，极限显然存在等式的右边正是积分和的极限，因为f(x)在[a，b]上可积，所以此极限存在，于是根据定积分的定义，f(x)在[a，b]上的定积分存在，即于是就得到这就是微积分基本公式，表明了定积分与原函数之间的联系。习惯上将F(b)−F(a)简写成，于是微积分基本公式可以写成此外，利用f(x)的不定积分

7、（C为任意常数）微积分基本公式还可以表示为此式表明了定积分与不定积分之间的联系。