量子力学第三章量子力学中的力学量课件.ppt

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1、第三章量子力学中的力学量(ObservablesinQuantumMechanics)力学量—表示一个体系力学性质的量。微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个力学量（如：）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示微观粒子的力学量。微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根本不可能同时具有确定值（如：；）。微观体系的这些特点源于它的波动性（无确定轨道问题）。§3

2、.1表示力学量的算符§3.2动量算符和角动量算符§3.3电子在库仑场中的运动§3.4氢原子§3.5厄米算符本征函数正交性§3.6算符与力学量的关系§3.7算符对易关系，两力学量同时有确定值的条件，测不准关系§3.8力学量平均值随时间的变化，守恒定律§3.1表示力学量的算符（operator）一、算符的一般性质算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号，记为。例如：中的“”；中的“”（作用是乘）；中的“”（求导）；中的“”（作用是积分）。其中是的函数。如，还有要讲的角动量算符等…。一般，

3、作用在它右边的函数上，原来的函数变为新函数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：2.算符的相等若对任意的函数，有,我们称与相等，记为：。1.单位算符作用到任意的函数上，不变，记为：3.算符的相加若对任意的函数，有，则称算符为与之和。记为：。例：若，，有：即：。算符之和满足交换律：。满足结合律：。4.算符相乘若对任意的函数，有，则称算符为与之积。记为（注意：不一定等于，称为算符与不对易，表明与作用到任意函数上，一般来说，结果与、作用的次序有关）。对于某些算符，，为任意的函数，则称与对易。如一个算符相继作用在上n次，则可用表示，即：，

4、。即有，即和可以交换顺序，均为正整数。5.逆算符：如果存在，则称与互为逆算符，记，，且有。即与对易。并且有性质：。6.算符的复共轭、转置和厄米共轭（1）算符的复共轭算符，由表示中复量换成共轭复量构成。例如在坐标表象中，动量算符的复共轭算符为：。（2）算符的转置算符对于任意的函数，有：定义式（i）（ii）（iii）（3）算符的厄米共轭算符对于任意的函数，有：定义式7.线性算符如：是线性算符，而“”和“乘方”为非线性算符。<1>定义：若对任意的函数，其中为任意复常数，则称算符为线性算符。<2>线性算符之和仍是线性算符即线性算符关于加法是

5、闭合的。<3>线性算符之积仍是线性算符即线性算符关于乘法是闭合的。8.算符的函数量子力学中算符的函数可由幂级数定义得：例如：。<1>若对某函数，有，其中是数量，则称为的本征值（固有值），是的属于本征值的本征函数。上式称为算符的本征值方程（如：）。方程的解除了决定于的具体形式以外，还决定于满足的条件，可取分立值，用表示，也可取连续值。9.算符的本征值与本征函数<1>若对某函数，有，其中是数量，则称为的本征值（固有值），是的属于本征值的本征函数。上式称为算符的本征值方程（如：）。方程的解除了决定于的具体形式以外，还决定于满足的条件，可取

6、分立值，用表示，也可取连续值。<2>如对应一个只有一个，则为非简并（如线性谐振子的能量本征值）；如对应一个有n个本征函数，即，并且它们是线性独立的，则为n度简并。例如：一维自由粒子的能量本征值为2度简并。<3>如有共同的本征函数，则和算符的本征值是算符本征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：10.厄米算符<1>定义：对任意二函数，若满足下式：（一、二和三维都适用）则称为厄米算符。其中“”表示取复数共轭；是的定义。或例：和是厄米的，而不是厄米的。(1)（因为是实数）(3)解法同上，有：(2)假设和是在时等于零的束缚态。<2>厄

7、米算符的本征值为实数（定理内容）证明：若是的属于本征值的本征函数，即，则由厄米算符的定义，且令，则有：①＝②，于是为实数。所以厄米算符又叫实算符。②①<3>厄米算符之和仍是厄米算符证明：<4>厄米算符之积不一定是厄米算符要看二者是否可以交换顺序注意：算符是作用在波函数上的，否则可能出错。证明：二、量子力学中用线性厄米算符表示力学量1.两个假定：假定1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。假定2：当体系处于任意状态下，算符的本征值集合即是测量体系的力学量的可能值；当体系处于的属于的本征态时，测量力学量，得到确定值。2.量子

8、力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示<1>为什么用算符表示力学量？(a)因为在波函数的标准条件下求解算符的本征值，能得到与实验符合的本征值，且多是分立的，如线性谐振子的能量本征值。(b)用算符表示力学量还可以反映某二力学量不能同时具