奈奎斯特稳定判据课件.ppt

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1、5.4奈奎斯特稳定判据奈奎斯特（Nyquist）稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch(柯西)幅角定理。一、映射原理式中–zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点，–pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以

2、在整个s平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。5.4.1幅角原理设辅助函数s平面F(s)平面F(s)的零点原点F(s)的极点无限远点s平面上的其他点原点外的有限点s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系注意，虽然函数F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知这个函数在有限的s平面上除s=0,－1,－2以外均解析，除此三点外，s平面上的每一个s值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在s平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成当F(s)取一个常

3、数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。现考虑s平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当向量的幅值为向量的相角为二、幅角定理ReImReImS平面F(s)平面当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有[例]设：,当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0)，相角的变化为：现考虑s平面上既不经过零点也

4、不经过极点的一条封闭曲线CS。当变点s沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS。示意图在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有

5、关零、极点数的信息。1.围线CS既不包围零点也不包围极点如图所示，在s平面上当变点s沿围线CS按顺时针方向运动一周时，我们来考察F(s)中各因子项的幅角的变化规律。现以图中未被包围的零点-2为例。当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的幅角a的变化为0°。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0)的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变化也等于0°。于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表明，围线CF此时不包围原点。ab2.围线CS只包围零点不包围极点如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当变

6、点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(s)平面上对应变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360°。同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，CF应顺时针包围原点Z次。a⒊围线CS只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点，则当变点s沿CS顺时针绕行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到F(s)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。同理，当围线CS的内域只包含P个极点时，CF应逆时针包围原点P次，或者说，CF顺时针包围原点－P次。b⒋围线CS包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当

7、变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。这就是所谓幅角原理。设CS为s平面上不含F(s)任何奇点的封闭曲线，该曲线内包含了F(s)的P个极点和Z个零点，当动点s沿CS顺时针运动一周，映射到F(s)平面上的曲线CF包围原点的方向和周数为：CF顺时针包围原点N周；CF不包围原点；CF逆时针包围原点N周；[柯西幅角原理]顺时针包围原一周；逆时针包围原一周；不包围原点；一、控制系统的辅助函数开环传递函数为：特征多项式为：取为辅助函数，闭环极点，也就是特征方程的根；F(s)的零点：N(s)=0的根，即开