非线性回归模型的线性化课件.ppt

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1、非线性回归模型的线性化有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。对于那些不可线性化的非线性回归模型，例如是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。(1)幂函数模型(全对数模型)(b>1)(0b>-1)b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为y

2、t*=a*+bxt*+ut变量yt*和xt*之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型。全对数模型的特点是模型弹性系数b为常数。Lnyt=Lna+bLnxt+ut回归系数b是被解释变量与解释变量的变化率的比，所以称b为弹性系数。b用来测量当变化1%时，变化百分之多少。边际系数是Cobb-Douglas生产函数（二元幂函数）根据新古典增长理论：，称模型为规模报酬不变型；，称模型为规模报酬递增型；，称模型为规模报酬递减型。所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。对于线性模型，，1和2称作边际系数。线性模型中的回归系数（边际系

3、数）是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。以1为例应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。(2)指数函数模型(半对数模型)上式等号两侧同取自然对数，得Lnyt=Lna+bxt+ut令Lnyt=yt*,Lna=a*,则yt*=a*+bxt+ut变量yt*和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。半对数模型的弹性系数和边际系数都不是常数

4、。Lnyt=Lna+bxt+ut弹性系数是边际系数是回归系数是近似等于单位时间内的增长率。半对数模型的一个重要应用是估计经济变量的增长率。把Lnyt=Lna+bxt+ut中的换成时间变量t。Lnyt=Lna+bt+utLnyt=Lna+bt+ut称为增长模型。中国税收增长的定量分析1990-2006年中国税收（Tax，亿元）数据见中国税收增长的定量分析.wf1因为解释变量是时间t，所以回归系数0.1589近似测量的是中国税收的年增长率，即1990-2006年中国税收的年平均增长率近似是15.89%。(3)对数函数模型yt=a+bLn

5、xt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)令xt*=Lnxt,则yt=a+bxt*+ut变量yt和xt*已变换成为线性关系。对数函数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。yt=a+bLnxt+ut弹性系数是边际系数是28个省市自治区19852005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系28个省市自治区19852005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系用数据估计模型，得回归结果如下：由上式，导函数是弹性函数。说明人均食品支出对人均收入的弹性系数是随着城镇人

6、均收入的增加而减少的。当城镇人均收入1000元水平时，人均收入增加1%，人均食品支出增加0.8986%；当城镇人均收入16000元水平时，人均食品支出对人均收入的弹性系数下降到0.6412%。城镇人均食品支出对人均收入的弹性系数随着人均收入的提高而递减。(4)双曲线函数模型1/yt=a+b/xt+ut令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型。yt=a+b/xt+u

7、tb>01/yt=a+b/xt+utb>0双曲线函数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。yt=a+b/xt+ut弹性系数是边际系数是炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系双曲线线性化双倒数线性化对数线性化(5)多项式函数模型(1)一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。(b3>0)(b3<0)(5)多项式方程模型(2)(b

8、2>0)(b2<0)另一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut令xt1=xt，xt2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。厦门市贷款总