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1、第四章非线性回归模型的线性化因变量和解释变量之间的线性关系，包括参数线性和解释变量线性两种。至今，线性总体回归模型的一般形式为其中：Y是被解释变量，X1，…，XK是解释变量。此时，被解释变量既是解释变量的线性函数，也是相应参数的线性函数。我们又称之为标准的线性回归模型。实际应用中，只有很少一部分经济变量之间存在上述这种标准的线性回归关系。对于绝大多数经济变量而言，他们之间的关系都是非线性的。非线性回归模型的一般形式其中，f(.)是关于解释变量和相应参数的一个非线性函数。具体地，又可以分为以下三类：非标准线性回归模型可线性化的非线性回归模型不可线性化的非线性回归模型非标准线性回
2、归模型当被解释变量Y与解释变量X1,X2,…,XK之间不存在线性关系，但是与参数之间存在线性关系时其中，f1(.),…,fK(.)是关于解释变量的一个非线性函数。我们称之为非标准线性回归模型。比如:可线性化的非线性回归模型当被解释变量Y与解释变量X1,X2,…,XK和参数之间都不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准线性回归模型时。我们称之为可线性化的非线性回归模型。比如C-D生产函数：不可线性化的非线性回归模型当被解释变量Y与解释变量X1,X2,…,XK和参数之间都不存在线性关系，并且不可以通过适当的变换将其化为标准线性回归模型时。我们称之为不可线性化的非线性回归
3、模型。比如：对于这些不符合线性假定的模型进行参数估计，必须加以适当的变换以后，才能用OLS方法估计模型参数。对前两类情况，虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。对于参数线性的模型，可以采用变量的直接代换，转化为参数、变量均为线性的形式进行估计。1、非标准线性回归模型多项式方程模型多项式方程的表达形式是(4.4)图4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut图4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+utyt=b0+b1xt+b2xt2+u
4、t(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的图形分别见图4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut(4.15)如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。描述自变量对因变量递增或者递减的边际效应。图4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut图4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut另一种多项式方程的表达形式二次函数yt=b0+b1xt+b2xt2+ut当b1>0,b2<0时，具有抛物线的形式，在点-2b1/b2之前x对y的影响是正的，在点-2b1/b2之后x对y的影响是负的
5、，在点-2b1/b2处为0。当b1>0,b2>0时，具有U型的形式，在点-2b1/b2之前x对y的影响是负的，在点-2b1/b2之后x对y的影响是正的，在点-2b1/b2处影响为0。可以与对数联合使用。含有交互作用项的模型yt=b0+b1xt1+b2xt2++b3xt1xt2ut因变量对一个解释变量的偏效应、弹性或者半弹性与另一个或几个解释变量有关。例4.1双曲线函数模型1/yt=α+β/xt+ut(4.6)也可写成，yt=1/(α+β/xt+ut)β<0情形的图形见图。yt=1/(α+β/xt),(β>0)倒数模型这是双曲线函数的另一种表达方式令变量，则回归函数可变为：根据
6、解释变量的观测值，计算出X*i的之后进行OLS估计，得到：因此可得到原模型的估计方程：xt和yt的关系是非线性的。令xt*=1/xt，得yt=α+βxt*+ut上式已变换成线性回归模型。图4.8yt=α+β/xt,(β>0)yt=α+β/xt+ut半对数函数模型yt=α+βLnxt+utβ>0和β<0两种情形的图形分别见图。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=Lnxt,则yt=α+βxt*+ut变量yt和xt*已变换成为线性关系。图4.3yt=α+βLnxt+ut,(β>0)图4.4yt=α+βLnxt+ut,(β<0)S-曲线函数模型1/yt=α+βe-x+ut令yt*=
7、1/yt,xt*=e-xyt=α+βxt*+ut2、可线性化的非线性回归模型幂函数模型yt=axtbb取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为yt*=a*+bxt*+ut变量yt*和xt*之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。也称作全对数模型。图4.5yt=axtb图4.6yt=axtb幂函数模型半对数线性模型根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到
