2013年高数试题参考答案.doc

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1、2013年高数试题参考答案一．填空题１．【详解1】，所以，即．【详解2】因为，显然，当然有．应该选（Ｄ）2．【分析】此题考查的是空间曲面在点处的法向量及切平面的方程．其中法向量为．【详解】设，则在点点处，从而切平面方程为，即．应该选（Ａ）３．【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．【详解】由条件可知，为的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知也是周期为２的奇函数，故，应选（Ｃ）．４．【分析】此题考查的是格林公式和二重积分的计算．【详解】由格林公式，．所以，；在椭圆：上，二重积分最好使用广义极坐标计算：故，．显然最

2、大．故应选（Ｄ）．二、填空题5．【详解】当时，，利用隐函数求导法则知．．6．【详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数．7．【详解】，，所以．8．【详解】三、解答题9．（本题满分10分）计算，其中．【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】10．（本题满分10分）设数列满足条件：，是幂级数的和函数．（1）证明：；（2）求的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，；，由条件可得，所以，也就有．（2）解：由于所以，所以，

3、解微分方程，可得．11．（本题满分10分）求函数的极值．【详解】先求驻点，令解得，为了判断两个驻点是否为极值点，求二阶偏导数，在点处，且，所以为极小值点，极小值为．在点处，所以不是极值点．12．（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得．【详解】证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得．（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，令，由条件显然可知在上可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得即．13．（本题满分10分）设直线L过两

4、点，过L绕Z轴旋转一周得到曲面，曲面与平面所围成的立体为．（1）求曲面的方程；（2）求立体的质心坐标．【详解】（1）直线L的对称式方程为，设为曲面上的任意一点，并且其对应于直线L上的点为，由于过L绕Z轴旋转一周得到曲面，所以有如下式子成立，整理可得，，这就是曲面的方程．（2）设的质心坐标为，由对称性，显然，，所以的质心坐标为．