2012年高数试题参考答案.doc

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1、2012年高数试题参考答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。1、曲线渐近线的条数（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。解：（C）：，可得有一条水平渐近线；，可得有一条铅直渐近线；，可得不是铅直渐近线，故答案为（C）。2、设函数，其中为正整数，则（）（A）；（B）；（C）；（D）。解：（A）：；则。故答案为（A）。3．如果函数在处连续，那么下列例题正确的是（）（A）若极限存在，则在处可微；（B）若极限存

2、在，则在处可微；（C）若在处可微，则极限存在；（D）若在处可微，则极限存在。解：（B）：∵在处连续：①对（A）：令，可得，，则不存在，同理得也不存在，故（A）错；②对（B）：令，可得，，同理，则由微分定义可得在处可微，故答案为（B）；③对（C）和（D）：在处可微，可知在处偏导，即，则，显然极限不存在，同理，显然极限不存在，故（C）和（D）选项错误。4、设，则有（）（A）；（B）；（C）；（D）解：（A）：方法一：令，则，可得在上严格单调增加，可得，故答案为（A）；方法二：由定积分的几何意可得，故答案为（A）

3、。二、填空题：9-14，共6题，满分24分请将答案写在答题纸指定的位置上。5、若函数满足方程及，则。解：：的特征方程为解得，可得通解为：，代入得，可得。故可得答案为。6、。解：：，令，可得由对称性得，再令可得。7、。解：或：令，则，可得。8、已知曲面，则。解：：由曲面可得，向面投影，可得，则。三、解答题：15-23，共9题，共94分，将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。9（本题10分）、证明：，其中。证明：令，当时，可导，且（1）当时，显然，则可得当时，，即当时，单调增加，

4、，可得；（2）当时，显然可得当时，，即当时，单调减少，，可得；由（1）和（2）可得当时，。10（本题10分）、求的极值。解：先求函数的驻点，，可得驻点为；又所以，可得，而，故可得在点处取得极大值。11（本题10分）求幂级数的收敛域与和函数。解：，可得当，可得级数，显然发散，故收敛域为，且；，可得，即；，可得，可得，可得当时，，则。12（本题10分）、已知曲线，其中有连续导数，且，当时，，若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，求的表达式，并求此曲线与轴、轴无边界区域的面积。解：（1）设为上的任意一点，可得

5、切线斜率为，可得过点的切线方程为，令，可得，由于曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1，故有化简得，解得，代入得，则，；（2）曲线与轴、轴无边界区域的面积为：。13（本题10分）、计算曲线积分，其中是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点曲线段。解：圆周为圆，圆周为圆，补一直线段，令显然在、和所围闭区域上具有一阶连续偏导数，且，且取为正方向，由格林公式可得。