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1、第四章第二讲一、向量的内积与向量组的正交化二、矩阵对角化定义11、内积的定义及性质[].,yxyxT=内积可用矩阵记号表示为：一、向量的内积与向量组的正交化,,yx如果内积是向量的一种运算都是列向量，[].,的内积与为向量称yxyx[]nnyxyxyxyx+++=L2211,令维向量设有n内积的运算性质定义2令向量的长度具有下述性质：2、向量的长度及性质4).柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式:的长度().或范数维向量为称xnx非负性.1)齐次性.2)三角不等式.3)为单位向量.,1称时当xx=解维向量间的夹角n正交
2、的概念正交夹角[]yxyxyx,arccos,0,0=¹¹q时当正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．3、正交向量组的概念及求法证明正交向量组的性质向量空间的正交基.,,,,且的一个基是向量空间若VVaaa,21的正交基向量空间是则称是两两正交的非零向量组rL,,,aaa21rL,,,aaa21rL规范正交基（标准正交基）例如求规范正交基的方法（1）正交化，取，施密特正交化过程（2）单位化，取例用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取再单位化，得规范正交向量组如下例解再把它们单位化，
3、取例解把基础解系正交化，即合所求．亦即取.0,0,321132=++=xxxaaaxT即应满足方程证明定义44、正交矩阵与正交变换定理为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．例如，验证矩阵是正交矩阵。性质正交变换保持向量的长度不变．证明例判别下列矩阵是否为正交阵．定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．解所以它不是正交矩阵．（1）考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由于1、相似矩阵与相似变换概念的相似变换矩阵.变成称为把可逆矩阵BAP.,,,,相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义1
4、BAABBAPPPnA,B-1=进行相似变换,称为对行运算进对AA,BAPP-1=二矩阵对角化2、相似矩阵的性质(4).相似矩阵具有相同的秩和行列式.(5).若两个相似矩阵可逆，则它们的逆也相似.(6).相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值.证明问题：是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?推论若阶方阵A与对角阵相似,n3、利用相似变换将方阵对角化对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使为对角阵,则称A可对角化.APPL=-1.)(个线性无关的特征向量有的充分必要条件是能对角化即与对角矩阵相似阶矩阵定理nAAAn证明,,为对角阵使假设存
5、在可逆阵PAPPL=-1().,,,21npppPL=P用其列向量表示为把,,L=PAP得L=-1APP由命题得证..L=PAP使,Pn个特征向量即可构成矩阵这,,nA个特征向量恰好有假设反之说明推论:如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．若A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化,但如果能找到n个线性无关的特征向量,还是能对角化．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？的特征向量.的对应于特征值就是的列向量而iiApPl,的特征值是可见iAl.,,,,21线性无关所以可逆又由于np
6、ppPL解解之得基础解系同理,(),0,73=--=xEAll由对求得基础解系.,3可对角化因而个线性无关的特征向量有即AA,0211210102¹由于.,,321线性无关所以aaa.1321-===lll的特征值为所以A解之得基础解系故A不能化为对角矩阵.(),01=--=xEAll代入把例2解A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,.1为对角阵使APP-.2,1321-===lll的全部特征值为所以A()得方程组代入将0121=-==xEAlll解之得基础解系所以A可对角化.得方程组的基础解系()代入将,023=--=xEA
7、ll,,321线性无关,由于xxx注意即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．小结1．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成 ，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵．思考题思考题解答
