向量空间内积与标准正交基课件.ppt

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1、证明定义4定理为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．五、正交矩阵与正交变换7/31/202117/31/20212性质正交变换保持向量的长度不变．证明例５判别下列矩阵是否为正交阵．定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．7/31/20213解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于7/31/20214所以它是正交矩阵．由于7/31/20215例６解7/31/20216（1）正交化，取，６求规范正交基的方法7/31/20217（2）单位化，取7/31/20218例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正

2、交化，取施密特正交化过程7/31/20219再单位化，得规范正交向量组如下7/31/202110例３解7/31/202111再把它们单位化，取7/31/202112几　何　解　释7/31/202113例４解7/31/202114把基础解系正交化，即合所求．亦即取7/31/2021151．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：7/31/202116向量组的秩一.向量组的秩反映了向量组的线性相关的程度设向量组的向量有n个，它的秩为r。1.2.如果则向量组线性无

3、关，如果则向量组线性相关。3.向量组有个向量可以由其余向量线性表示。7/31/202117向量组的秩二.向量组的成员的变化对秩的影响设向量组的向量有n个，它的秩为r。1.如果向量组的向量增加i个,则它的秩至多为。2.如果向量组的向量增加i个,它的秩增加j，则增加的向量有个向量可由原向量组线性表示。3.如果向量组的向量减少i个,则它的秩至少为。7/31/202118秩的不等式7/31/202119