2019高考数学考点突破——平面向量：平面向量的数量积 Word版含解析.pdf

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1、平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度

6、a

7、与b在a的方向上的投影

8、b

9、cosθ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ＝

10、〈a，b〉.1122结论几何表示坐标表示模

11、a

12、＝a·a

13、a

14、＝x2＋y211数量积a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cosθa·b＝xx＋yy1212a·bxx＋yy夹角cosθ＝cosθ＝1212

19、a

20、

21、b

22、x2＋y2·x2＋y21122a⊥ba·b＝0xx＋yy＝01212

23、a·b

24、与

25、a

26、

27、b

28、的关

29、a·b

30、≤

31、a

32、

33、b

34、

35、xx＋yy

36、≤x2＋y2·x2＋y212121122系【考点突破】考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接→→DE并延长到点F，使

37、得DE＝2EF，则AF·BC的值为()51111A．－B．C．D．8848→→(2)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________.[答案](1)B(2)6→→→[解析](1)如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，→1→→1→1→3→且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，2244→1→3→所以AF＝AB＋AC.24→→→又BC＝AC－AB，→→1→3→→→则AF·BC＝AB＋AC·(AC－AB)241→→1→3→

38、3→→＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB22443→1→1→→＝AC2－AB2－AC·AB.424→→又

39、AB

40、＝

41、AC

42、＝1，∠BAC＝60°，→→31111故AF·BC＝－－×1×1×＝.故选B.42428(2)设P(cosα，sinα)，→∴AP＝(cosα＋2，sinα)，→→∴AO·AP＝(2，0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，当且仅当cosα＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积

43、运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】→→1．线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则AD·BE＝()33A．－B．223333C．－D．22[答案]A→→→→→→→→[解析]由等边三角形的性质得

44、AD

45、＝

46、BE

47、＝3，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝

48、AD

49、

50、BE→→13

51、cos〈AD，BE〉＝3×3×－＝－，故选A.22→→→→2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边

52、上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．[答案]11[解析]法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，→→→→C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，→→故DE·DC的最大值为1.→→→→→法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投

53、影都是CB＝1，所以DE·CB＝

54、CB

55、·1＝1，→→当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1，→→→所以(DE·DC)＝

56、DC

57、·1＝1.max考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.2π(2)已知平面向量a，b满足

58、a

59、＝2，

60、b

61、＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，3则实数λ的值为()A．－7B．－3C．2D．3(3)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则

62、k的取值范围是________.99[答案](1)2(2)D(3)－∞，－∪－，322[解析](1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.2π(2)依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－31)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3