数列的概念与简单表示法(二).docx

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1、数列的概念与简单表示法（二）[学习目标]　1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．知识点一　数列的函数性质1．数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2．在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1

2、调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案　联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调．反之不正确，例如f(x)＝(x－)2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增．区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)

3、项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．第15页2．数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．思考1　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，则数列的第5项a5＝________，由此归纳出{an}的一个通项公式为________，可以求得a8＝________.答案　∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.思考2　

4、由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？答案　通项公式直接反映了an与n之间的关系，即知道n值，即可代入通项公式求得该项的值an；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求an，须将前面的各项依次求出才行．题型一　数列的函数特征例1　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，写出其前5项，并判断数列{an}的单调性．解　当n＝1,2,3,4,5时，an依次为，，，，，an＋1－an＝－＝.∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－(x＋)2＋在[1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，∴当n＝1,2时，an

5、＋1>an，当n≥3，n∈N*时，an＋1a4>a5>….∴数列{an}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．跟踪训练1　求例题中的数列{an}的最大项．第15页解　∵a1a4>a5>…，∴数列{an}的最大项为a3＝.题型二　递推公式的应用例2　(1)已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n且a1＝1，则等于(　　)A.B.C.D.(2)已知数列{an}分别满足a1＝1，an＋1＝.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式是________．答案　(1)B　(2)an＝(n∈N*)解析　(1)由a1＝1知a2a1＝a1＋(－1)2，

6、得a2＝2；由a3a2＝a2＋(－1)3，得a3＝；同理得a4＝3，a5＝，故＝＝，选B.(2)a1＝1＝，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝＝.故数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)．跟踪训练2　数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.第15页(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式．解　(1)由已知可得a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为an＝.题型三　由递推公式求通项公式例3　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an

7、＋ln(1＋)，求an.(2)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an(n∈N*)，写出前3项，猜想an并加以证明．解　(1)由题意得an＋1－an＝ln，∴an－an－1＝ln(n≥2)，an－1－an－2＝ln，……，a2－a1＝ln.∴当n≥2时，an－a1＝ln(··…·)＝lnn，∴an＝2＋lnn(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＋ln1＝2，符合上式，∴an＝2＋lnn(n∈N