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1、二、其他未定式一、型未定式第二节洛必达法则第三章函数之商的极限导数之商的极限转化本节研究:洛必达法则1洛必达(1661–1704)法国数学家,出生于贵族，当过军官，因视力不好退役了，他在15岁时就解决了帕斯卡提出的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有《无穷小分析》(1696),这是一本较系统的微积分书，并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法则”。2例如,定义：如果当（或）时，或两个函数与都趋于零或趋于无穷大，那么极限可能存在，通常把这种极限称为也可
2、能不存在，型未定式.型3存在(或为)定理1.(洛必达法则)定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.4(在x,a之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,存在(或为)5存在(或为)定理1.(洛必达法则)推论1.定理1中换为之一,推论2.若条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.6解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!例1.用罗比达法则时必须检验是否为未定式P136例27解:原式思考:如何求(n为正整数)?例2.P136例48解:例3.求注意：洛必达法则是求未定
3、式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.常用的有等价无穷小代换,重要极限,变量代换,极限的运算法则等.P138例109例4.求解:尽量使用无穷小的代换和重要极限，说明：可以简化计算.10定理2.若(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.存在(或为)注意：想用洛必达法则之前应先：(1)检查极限的类型是否为(2)为使极限计算简单,应结合以前的方法化简函数,如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等.11解:原式例5.例6.求解:原式例5、例6说明：但它们趋于无穷大的“快慢”程度不一样.指数函数最快,幂函数次之,对数函数最慢.
4、三者相比,P136例5,612例7.解:P139T1(8)则原式=解:例8.求非零因子要及时分离出来13练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是()14将其它类型的未定式化为洛必达法则可解决的关键:类型例9.求解:原式步骤:或二、其他未定式:P137例715步骤:即通分解:原式例10.求例11.解：P138例816步骤:用对数恒等式例12.求解:例13.解：P138例917解：例14.P183T10(3)18注意：1)条件充分但不必要.洛必达法则的使用是有条件的.例如,极限不存在也不是无穷大2)对有些极限失效(1)对数列极限失效.对数列极限的未定式,若想用洛必达
5、法则,应先用定理:19不存在时失效.(3)有时出现循环，这时罗比达法则失效.如：事实上：(4)有时会越用越复杂,这时不必用罗比达法,则应先用其它方法.如：20洛必达法则适用于：内容小结温馨提示：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换,极限的运算法则等.21泰勒中值定理：其中：(1)第三节泰勒(Taylor)中值定理把(1)式称为函数(2)把(2)式称为22注意:3.余项：叫Lagrange型余项.叫皮亚诺(Peano)余项.234.特例:(1)当n=0时，泰勒公式即为拉格朗日中值公式
6、.故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有(2)在泰勒公式中若取5.函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理或超越函数的运算转化为有理式的运算,大大简化计算.24解:代入公式,得:由此可知：P142例125其中：2.麦克劳林公式作业:P1391(5)(7)(9)(12)(13)(16);P18210(2).预习:P145-153请记住以下两个公式：思考：P139T2,3,4.26
