第六讲-实数的概念及性质.doc

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1、专题实数【知识要点】从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．一、有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数

2、，且．2．性质：（1）顺序性，即对任意两个有理数，在三种关系中，有且只有一种关系成立；（2）封闭性，即任意两个有理数的加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；（3）稠密性，即任意两个有理数之间仍存在着一个有理数；（4）有理数也可以写成有限小数或无限循环小数的形式，形式上可与分数互化。3．无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．二、实数的概念及分类1、无限不循环小数叫做无理数，有理数与无理数统称为实数。2、三、相反数数的相反数是，0的相反数是0，若互为相反数，则，反之亦成立。四、倒数数的倒数为

3、，0没有倒数若互为倒数，则，反之亦成立（相反数、倒数都是指两数之间的关系）五、绝对值1．2．性质：（1）；（2）；（3）若，则相等或互为相反数；（4）；（5），；（6）；。六、实数的整数部分和小数部分1．定义：设为实数，[]表示不大于的最大整数，称为的整数部分，{}=[]称为的小数部分。2．性质：（1）[]是一个整数，{}是0或正的纯小数；（2）对任何实数，有=[]+{}；（3）对任何实数，；（4）若为整数，则[]=[]，{}={}；（5）为任意实数，若，则；若，则；若，则；（6）为任意实数，，；（7），则。【例证性习题】例1、若x、y为有理数，且，求

4、的值．例2、若a、b满足=7，且S＝，求S的取值范围是．例3、证明循环小数是有理数例4、已知a、b均为有理数，且满足等式，求a、b的值．例5、求证：任何有理数的平方都不等于2。例6、解方程【巩固性练习】1．满足的条件是（）A．B．C．D．2．、设表示不超过的最大整数，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．3．已知是实数，则的值是（）A．B．C．D．无法确定4．代数式的最小值（）A．0B．C．1D．不存在的5．如果是四个互不相等的实数，且，那么6．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴；同样∵1112=12321，∴；…由此猜想．7．已知为非零

5、实数，且，则8．证明：是一个有理数9．已知是无理数，证明：对任意整数，数都是无理数10．正整数小于100，并且满足等式，其中[]表示不超过的最大整数，这样的正整数有多少个？11．已知a、b是有理数，且，求、b的值．12．设x为一实数，[x]表示不大于x的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x的值．13．若实数a、b满足，求2b+a－1的值．14．设x、y都是有理数，且满足方程，求x－y的值．15．阅读下面材料，并解答问题：在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这

6、是开方运算．现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．例如：因为23=8，所以log28=3；因为，所以（）=3．根据定义计算：①log381=；②log33=；③如果logx16=4，那么x=．