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1、宁波大学科技学院离散数学第一章集合的基本概念和运算第一章集合的基本概念和运算1.1集合的基本概念1.2集合的基本运算1.3集合中元素的计数1.4笛卡尔乘积1.1集合的基本概念集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。如果属于，就称它为这个集合的元素。集合通常用大写的英文字母来表示。集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如，，，都是合法的表示。谓词表示法是用谓词来概括集合
2、中元素的属性，例如，，一般的A={x︱R(x)}R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序对集合没有影响。1.1集合的基本概念集合的元素还可以允许时一个集合，例如：S={a，{1，2}，p，{q}}但：q{q},qS又：{1，2，4}={1，2，2，4}{1，2，4}={1，4，2}但，{{1，2}，4}{1，4，2}{1，3，5，。。。}={x
3、x是正奇数}1.1集合的基本概念定义3.1.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集合，简称子集。这
4、时也称B被A包含，或A包含B。记作B⊆A。包含的符号化表示为例：设A={1,2,3,4,5,6,},B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5}定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B，则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为由以上定义可知，两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素。如，则A=B。1.1集合的基本概念定义1.1.3设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。真子集的符号化表示为B⊂A⇔B⊆A∧B≠A如果B不是A的真子集，则记作。例如{0,1}是{0,1,2}的真子集，但{0,3}和{0,1,2}都不是
5、{0,1,2}的真子集。定义1.1.4不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø，空集可以符号化表示为Ø={x
6、x≠x}定理1.1.1空集是一切集合的子集。证明：任何集合，由子集定义有右边的蕴涵式中因前件为假，所以整个蕴涵式对一切x为真，因此为真。1.1集合的基本概念推论空集是唯一的。一般地，称集合A的子集Ø和A为A的平凡子集。集合的包含具有下列性质1.自反性：2.反对称性若3.传递性含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m个(m≤n)元素的子集称作它的m元子集。任给一个n元集，如何求出它的全部子集呢？例3.1.4A={a,b,c}，求A的全部子集。解：将A的子集从小到大分类：0元子集
7、，即空集,Ø；1元子集，即单元集，{a}，{b}，{c}；2元子集，{a,b}，{b,c}，{a,c}；3元子集，{a,b,c}。一般地，对n元集A，它的m(0≤m≤n)元子集有个，不同的子集总数有1.1集合的基本概念定义1.1.5设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集，记作ρ(A)。幂集的符号化表示为ρ(A)={x
8、x⊆A}对于例1.1.4中的集合A有ρ(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。定义1.1.6在一个具体的问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。E={x
9、}全集是有相对性
10、的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。例如在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面（平面上所有点的集合）取作全集，也可以把整个空间（空间上所有点的集合）取作全集。一般地，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。定理：如A,B为任意集合，则当且仅当证明：先证必要性若，又有，,故xB，从而x∈P(B),即P(A)P(B)再证充分性：设P(A)P(B)，假设AB，那么至少有一元素a∈A且aB,设集合{a}，有{a}∈P(A)且{a}P(B),与P(A)P(B)矛盾，故第一章集合的基本概念和运算1.1集合的基本概念1.2集合的基本运算1.3集合中元素的计
11、数1.4笛卡尔乘积1.2集合的基本运算1.2.1集合的运算1.2.2集合运算算律1.2.1集合的运算给定集合A和B，可以通过集合的并∪，交∩，相对补-，绝对补～和对称差等运算产生新的集合。定义1.2.1设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A-B分别定义如下：显然A∪B由A或B中的元素构成，A∩B由A和B中的公共元素构成，A-B由属于A但不属于B的元素构成。把以上定义加以推广，可以得到n个集合的并集和交集，即集合并的运算具有下列性质：1.=A 2.=E 3.=A 4
